Calcule a distância entre as retas r1 e r2 abaixo.
r1:lx=1+2 s y=-3+3 s z=2-s r2:lx=3-2 t y=6-3 t z=1+t

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica
r1: x=1+2s, y=-3+3s, z=2-s, r2: x=3-2t, y=6-3t, z=1+t,
e pede a distância entre elas. O conteúdo é cálculo de distância entre retas paralelas no espaço, usando produto vetorial.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
d1=(2,,3,,-1), d2=(-2,,-3,,1)
Como d2=-1cdotd1, as retas são paralelas. Podemos então usar a direção comum d=d1.

Passo 3

Escolhemos um ponto P em r1 tomando s=0 e um ponto Q em r2 tomando t=0:
P=(1,,-3,,2), Q=(3,,6,,1)

Passo 4

Calculamos o vetor que vai de P a Q:
PQ=Q-P=(3-1,;6-(-3),;1-2)=(2,,9,,-1)

Passo 5

A fórmula da distância entre retas paralelas de direção d é
dist ;=;|PQtimesd||d|

Passo 6

Calculamos o produto vetorial
PQtimesd = i&j&k 2&9&-1 2&3&-1 =l(9cdot(-1)-(-1)cdot3,;-,l(2cdot(-1)-(-1)cdot2r),;2cdot3-9cdot2r) =(-6,;0,;-12)

Passo 7

Calculamos as normas:
|PQtimesd| =raiz(-6)^2+0^2+(-12)^2 =raiz36+144 =raiz180 =6raiz5,
|d| =raiz2^2+3^2+(-1)^2 =raiz4+9+1 =raiz14

Passo 8

Substituindo na fórmula:
dist =6raiz5raiz14 =6raiz5raiz14cdotraiz14raiz14 =6raiz7014 =3raiz707

Resposta

A distância entre r1 e r2 é 3raiz707.

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