(a) Verique que a aplicação T mapsto T^* é uma imersão isométrica de L(X ; Y) em L(Y^* ; X^*).
(b) Mostre que não pode existir um isomorfismo de L(K ; c0) sobre L(c0^* ; K^*).
Conclua que a imersão do item (a) nem sempre é sobrejetora, ou seja, existem operadores entre duais que não são adjuntos de ninguém.

Passo 1

O enunciado considera espaços normados e sobre e o espaço dos operadores lineares e contínuos de em . Para cada define-se o adjunto
No item (a) vamos mostrar que
é linear, injetora e isométrica (isto é, ). No item (b) aplicamos esse fato a e para ver que não é sobrejetora em geral.

Passo 2

Mostramos que Phi é bem-definida e linear. Para cada varphiin Y^* e TinL(X;Y) temos varphicirc Tin X^* e
|T^*|=sup|varphi|<=1|varphicirc T|<=sup|varphi|<=1|varphi|;|T|=|T|
A linearidade vem da composição: (lambda T+S)^*(varphi)=varphicirc(lambda T+S)=lambda,varphicirc T+varphicirc S=lambda T^*(varphi)+S^*(varphi).

Passo 3

Mostramos que Phi é injetora. Se T^*=0 então para todo varphiin Y^* e todo xin X vale
0 = T^*(varphi)(x)=varphil(T(x)r)
Como isso vale para todos os funcionais varphi, segue T(x)=0 para todo x, ou seja, T=0. Logo Phi é injetora.

Passo 4

Mostramos que Phi é isométrica, isto é, |T^*|=|T|. Já vimos |T^*|<=|T|. Para a desigualdade inversa note que
|T|=sup|x|<=1|T(x)| =sup|x|<=1sup|varphi|<=1|varphi(T(x))| =sup|varphi|<=1sup|x|<=1|T^*(varphi)(x)|=|T^*|
Portanto |T^*|=|T| e Phi preserva norma.

Passo 5

Agora (b): calculamos . Um operador é determinado por , e . Logo

Passo 6

Como e , temos

Passo 7

É clássico que é separável e não é separável. Portanto não existe isomorfismo linear contínuo entre e . Consequentemente

Passo 8

Se a aplicação fosse sobrejetora em todo caso, ela forneceria um isomorfismo entre e . Mas acabamos de ver que para , esses espaços não são isomorfos. Logo não pode ser sobrejetora em geral.

Resposta

(a) A aplicação é linear, injetora e satisfaz , portanto é uma imersão isométrica de em .
(b) Vimos que
(separável)
e
(não separável),
logo não há isomorfismo entre eles. Conclui-se que a imersão do item (a) não é sobrejetora.

Exercícios relacionados