(a) Verique que a aplicação
é uma imersão isométrica de
em
.
(b) Mostre que não pode existir um isomorfismo de
sobre
.
Conclua que a imersão do item (a) nem sempre é sobrejetora, ou seja, existem operadores entre duais que não são adjuntos de ninguém.
(b) Mostre que não pode existir um isomorfismo de
Passo 1
O enunciado considera espaços normados
e
sobre e o espaço
dos operadores lineares e contínuos de
em
. Para cada
define-se o adjunto
No item (a) vamos mostrar que
é linear, injetora e isométrica (isto é,
). No item (b) aplicamos esse fato a e
para ver que
não é sobrejetora em geral.
Passo 2
Mostramos que
é bem-definida e linear. Para cada
e
temos
e
A linearidade vem da composição:
.
Passo 3
Mostramos que
é injetora. Se
então para todo
e todo
vale
Como isso vale para todos os funcionais
, segue
para todo
, ou seja,
. Logo
é injetora.
Passo 4
Mostramos que
é isométrica, isto é,
. Já vimos
. Para a desigualdade inversa note que
Portanto
e
preserva norma.
Passo 5
Agora (b): calculamos . Um operador é determinado por
, e
. Logo
Passo 6
Como
e , temos
Passo 7
É clássico que
é separável e
não é separável. Portanto não existe isomorfismo linear contínuo entre
e
. Consequentemente
Passo 8
Se a aplicação
fosse sobrejetora em todo caso, ela forneceria um isomorfismo entre
e
. Mas acabamos de ver que para ,
esses espaços não são isomorfos. Logo
não pode ser sobrejetora em geral.
Resposta
(a) A aplicação
é linear, injetora e satisfaz
, portanto é uma imersão isométrica de
em
.
(b) Vimos que
(separável)
e
(não separável),
logo não há isomorfismo entre eles. Conclui-se que a imersão do item (a) não é sobrejetora.
(b) Vimos que
(separável)
e
(não separável),
logo não há isomorfismo entre eles. Conclui-se que a imersão do item (a) não é sobrejetora.