Calcule a distância entre as retas r1 e r2 abaixo.
r1:lx=5+t y=-1-t z=1+2 t r2:lx=4+2 s y=-1-2 s z=7+4 s

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em R^3. Isso envolve geometria vetorial, pois temos linhas paralelas ou reversas no espaço e precisamos usar a fórmula da distância entre retas paralelas:
d = |(P2 - P1)times v||v|

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e seu vetor diretor:
P1 = (5,-1,1), v1 = (1,-1,2),
P2 = (4,-1,7), v2 = (2,-2,4)

Passo 3

Verificamos se as retas são paralelas, comparando v2 com v1. De fato
v2 = 2,v1,
logo são paralelas e podemos usar v = v1 na fórmula da distância.

Passo 4

Calculamos o vetor entre os pontos e o produto vetorial:
P2 - P1 = (-1,0,6),
(P2 - P1)times v1 = (6,8,1)
Em seguida as normas:
|(P2 - P1)times v1| = raiz6^2 + 8^2 + 1^2 = raiz101,
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz6

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância entre retas paralelas:
d = raiz101raiz6

Resposta

d = raiz101raiz6

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