Considere identificado da maneira usual com . Caracterize os elementos de que atingem sua norma. Mostre que o conjunto de tais funcionais é denso em . Isso é um caso particular do Teorema de Bishop-Phelps que diz que se um espaço de Banach, o conjuntos dos elementos de que atingem a norma é denso em .
Passo 1
Resumindo: estamos em (as sequências que tendem a zero, com a norma ) e seu dual é identificado com por
com . Queremos caracterizar para quais existe com tal que
e depois mostrar que esses formam um conjunto denso em .
Passo 2
Suponha que atinge sua norma, ou seja, existe com e
Pela desigualdade de Hölder (caso –) temos sempre
A igualdade em Hölder ocorre exatamente quando, para todo n com an neq 0, vale |xn| = |x|infty = 1. Mas x in c0 implica xn to 0, logo somente um número finito de coordenadas pode satisfazer |xn| = 1. Concluímos que an neq 0 só em um suporte finito, isto é, a tem suporte finito.
Passo 3
Reciprocamente, se
Então e
ou seja, atinge de fato sua norma.
Passo 4
Para ver a densidade: as sequências de suporte finito são clássicamente densas em ell1. Assim, quaisquer ainell1 podem ser aproximadas em norma |cdot|1 por sequências de suporte finito, e os funcionais correspondentes atingem norma. Portanto, o conjunto dos elementos de c0^* que atingem norma é denso em c0^*.
Resposta
Os funcionais de c0^*congell1 que atingem sua norma são exatamente aqueles (an)inell1 de suporte finito; esse conjunto é denso em ell1, e portanto em c0^*.