Considere c0^* identificado da maneira usual com ell1. Caracterize os elementos de c0^* que atingem sua norma. Mostre que o conjunto de tais funcionais é denso em c0^*. Isso é um caso particular do Teorema de Bishop-Phelps que diz que se X um espaço de Banach, o conjuntos dos elementos de X^* que atingem a norma é denso em X.

Passo 1

Resumindo: estamos em c0 (as sequências que tendem a zero, com a norma |x|infty=supn|xn|) e seu dual c0^* é identificado com ell1 por
f(x)=sumn=1^inftyanxn, a=(an)inell1,
com |f|=|a|1=sumn=1^infty|an|. Queremos caracterizar para quais ainell1 existe xin c0 com |x|infty=1 tal que
f(x)=|f|,
e depois mostrar que esses f formam um conjunto denso em c0^*.

Passo 2

Suponha que f atinge sua norma, ou seja, existe x in c0 com |x|infty = 1 e
sumn=1^infty an xn ,=, |a|1 ,
Pela desigualdade de Hölder (caso ell1 ellinfty) temos sempre
l|sumn an xn r| <= |a|1 , |x|infty = |a|1 ,
A igualdade em Hölder ocorre exatamente quando, para todo n com an neq 0, vale |xn| = |x|infty = 1. Mas x in c0 implica xn to 0, logo somente um número finito de coordenadas pode satisfazer |xn| = 1. Concluímos que an neq 0 só em um suporte finito, isto é, a tem suporte finito.

Passo 3

Reciprocamente, se
Então e
ou seja, atinge de fato sua norma.

Passo 4

Para ver a densidade: as sequências de suporte finito são clássicamente densas em ell1. Assim, quaisquer ainell1 podem ser aproximadas em norma |cdot|1 por sequências de suporte finito, e os funcionais correspondentes atingem norma. Portanto, o conjunto dos elementos de c0^* que atingem norma é denso em c0^*.

Resposta

Os funcionais de c0^*congell1 que atingem sua norma são exatamente aqueles (an)inell1 de suporte finito; esse conjunto é denso em ell1, e portanto em c0^*.

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