Calcule a distância entre as retas r1 e r2 abaixo
r1:lx=2-t y=1+t z=2-t t in R
r2:l x=3-2 s y=6-3 s z=1+s s in R ;

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r1 e r2 no espaço, dadas em forma paramétrica. O conteúdo é geometria analítica em 3D, e vamos usar a fórmula da distância entre retas skew (não paralelas nem coincidentes):
d = l|(A2 - A1)cdot(v1times v2)r||v1times v2|,
onde A1,A2 são pontos em r1,r2 e v1,v2 são seus vetores diretores.

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e o vetor diretor:
Para r1:
A1=(2,1,2), v1=(-1,1,-1)
Para r2:
A2=(3,6,1), v2=(-2,-3,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial e sua norma:
v1times v2 = i&j&k -1&1&-1 -2&-3&1 =(-2,3,5),
|v1times v2| = raiz(-2)^2 + 3^2 + 5^2 = raiz38

Passo 4

Formamos o vetor entre pontos e fazemos o produto escalar com v1times v2:
A2 - A1 = (1,5,-1),
(A2 - A1)cdot(v1times v2) = (1,5,-1)cdot(-2,3,5) = -2 + 15 - 5 = 8,
tomando o valor absoluto |8| = 8.

Passo 5

Substituímos na fórmula da distância:
d = 8raiz38 = 8raiz3838 = 4raiz3819

Resposta

8raiz38 (ou racionalizado 4raiz3819).

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