Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R^2.
binom21,binom32

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = l21,,32r
é um gerador de R^2.
Conteúdo: em R^2, um par de vetores gera o espaço se, e somente se, for linearmente independente (ou seja, se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero).

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de S:
A = 2 & 3 1 & 2
Um critério de independência em R^2 é verificar se
det(A)neq 0. Se for diferente de zero, os vetores são independentes e, como há dois vetores em um espaço de dimensão 2, eles geram R^2.

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A) = 2cdot 2 ;-; 3cdot 1 = 4 - 3 = 1
Como det(A)=1neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam um gerador (na verdade, uma base) de R^2.

Resposta

O conjunto é gerador de R^2.

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