8 Dados, o ponto , o plano e a reta Determine a equação da reta que contém o ponto , é paralela ao plano e dista 3 unidades da reta .
Passo 1
O enunciado pede a reta
Para ser paralela a de deve ser ortogonal ao vetor normal de , , ou seja
Para calcular a distância de a , vamos primeiro obter uma representação paramétrica de e depois projetar em para achar o pé da perpendicular.
Passo 2
Resolvendo o sistema de
subtraindo a segunda equação da primeira dá vem , i.e. .
Tomando , obtemos a forma paramétrica
ou seja, ponto-base .
Passo 3
Para achar o pé da perpendicular de A sobre r, escrevemos o ponto genérico de r como B+t, u e exigimos que A( B+t u) seja ortogonal a u.
Se AB=A- B=(1-2,,3-0,,-1-0)=(-1,3,-1), então o parâmetro do pé é
t0=ABcdot u ucdot u =(-1,3,-1)cdot(1,0,1)1^2+0^2+1^2 =-1+0-12 =-22=-1
Passo 4
O ponto H (pé da perpendicular) é
H= B+t0, u =(2,0,0)+(-1),(1,0,1) =(2-1,,0,,0-1) =(1,0,-1)
O vetor AH=H-A=(1-1,,0-3,,-1+1)=(0,-3,0) é exatamente o vetor diretor da perpendicular a r saindo de A.
Passo 5
Verificamos que AHcdot n=(0,-3,0)cdot(1,0,1)=0, logo esse vetor é paralelo ao plano pi. E a distância de A a r é
|AH|=raiz0^2+(-3)^2+0^2=3,
como desejado.
Passo 6
Portanto, a reta l é a perpendicular a r que passa por A, de vetor diretor (0,-3,0) (ou, simplificando, (0,1,0)).
Resposta
A equação paramétrica de l é
boxed l: x=1, y=3+t, z=-1, tin R,
que também pode ser escrita em forma simétrica como