Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um conjunto gerador de .
Aqui o conteúdo é o de espaço gerado (span) e geradores em espaços vetoriais: um conjunto gera se todo vetor em
puder ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
é um conjunto gerador de
Aqui o conteúdo é o de espaço gerado (span) e geradores em espaços vetoriais: um conjunto gera
Passo 2
Para um conjunto
gerar
, os vetores
e
devem ser linearmente independentes, isto é, não pode existir escalar não nulo
tal que
. Se forem dependentes, o span fica restrito a uma reta.
Passo 3
Observamos que
Logo
é múltiplo escalar de
, o que mostra dependência linear. Logo o span de
é apenas a reta passando pela origem na direção de
.
Passo 4
Como o span é uma reta unidimensional e não todo o plano bidimensional, o conjunto não consegue gerar vetores fora dessa reta. Portanto ele não é um gerador de
.
Resposta
O conjunto
não é um conjunto gerador de
.