Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R^2.
binom23,binom46

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(2,3),,(4,6)
é um conjunto gerador de R^2.
Aqui o conteúdo é o de espaço gerado (span) e geradores em espaços vetoriais: um conjunto gera R^2 se todo vetor em R^2 puder ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 2

Para um conjunto v1,v2 gerar R^2, os vetores v1 e v2 devem ser linearmente independentes, isto é, não pode existir escalar não nulo lambda tal que v2=lambda v1. Se forem dependentes, o span fica restrito a uma reta.

Passo 3

Observamos que
(4,6) = 2,(2,3)
Logo (4,6) é múltiplo escalar de (2,3), o que mostra dependência linear. Logo o span de (2,3),(4,6) é apenas a reta passando pela origem na direção de (2,3).

Passo 4

Como o span é uma reta unidimensional e não todo o plano bidimensional, o conjunto não consegue gerar vetores fora dessa reta. Portanto ele não é um gerador de R^2.

Resposta

O conjunto (2,3),(4,6) não é um conjunto gerador de R^2.

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