Mostre que .)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um operador linear Tcolon Vto W entre espaços com produto interno e seu adjunto T^*colon Wto V, vale
ker T^* ;=;l(Im Tr)^perp
Vamos usar a definição de adjunto:
lang<= T(v),wrang<=W ;=;lang<= v,,T^*(w)rang<=V para todos vin V,;win W,
e a definição de complemento ortogonal
(Im T)^perp =,win Wmidlang<= w,,T(v)rang<=W=0 forall vin V
além da definição de núcleo
ker T^*=,win Wmid T^*(w)=0

Passo 2

Mostramos ker T^*subset(Im T)^perp. Seja winker T^*. Então T^*(w)=0. Para todo vin V,
lang<= w,,T(v)rang<=W =lang<= T(v),wrang<=W =lang<= v,,T^*(w)rang<=V =lang<= v,0rang<=V =0
Logo w é ortogonal a todos os vetores de Im T, ou seja win(Im T)^perp.

Passo 3

Mostramos (Im T)^perpsubsetker T^*. Seja win(Im T)^perp. Então
lang<= w,,T(v)rang<=W=0 forall vin V
Pela definição de adjunto,
lang<= v,,T^*(w)rang<=V =lang<= T(v),wrang<=W =lang<= w,,T(v)rang<=W =0 forall vin V
Como um vetor em V cuja forma linear de produto interno é zero contra todo v só pode ser o vetor nulo, segue T^*(w)=0. Portanto winker T^*.

Resposta

ker T^*=(Im T)^perp.

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