2 Dadas as retas
e
de equações paramétricas:
Calcule a distância entre elas e determine a equação da reta que interseta ambas perpendicularmente.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
R^3 :
e pede (a) a distância entre elas e (b) a reta que as intersecta perpendicularmente. Vamos usar vetores diretores, produto vetorial para a distância de retas reversas e condições de ortogonalidade para achar a reta comum perpendicular.
Passo 2
Escolhemos um ponto em cada reta e seus vetores diretores:
O vetor que liga
P1 a
P2 é
P1P2=P2-P1=(-4,7,-3) .
Passo 3
A distância entre retas reversas é
Calculamos
Logo
Passo 4
Para achar a reta comum perpendicular, procuremos os pontos
tendo o vetor
AB=B(s)-A(t) ortogonal a
v1 e a
v2 . As condições são
Passo 5
Escrevendo
obtém-se o sistema
Da segunda equação vem e então
. Assim
O vetor diretor da reta perpendicular é
, que é paralelo a
.
Passo 6
Escolhendo o ponto
Al(-tfrac17r) e vetor diretor
(-1,5,3) , a reta comum perpendicular tem equação paramétrica
Resposta
Distância entre
r1 e
r2 :
6raiz357
Equação da reta perpendicular que intersecta ambas:
Equação da reta perpendicular que intersecta ambas: