2 Dadas as retas r1 e r2 de equações paramétricas:
r1:l x=1+4 t y=-2-t z=3+3 t e r2:l x=-3+s y=5-s z=2 s
Calcule a distância entre elas e determine a equação da reta que interseta ambas perpendicularmente.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1: x=1+4t, y=-2-t, z=3+3t, r2: x=-3+s, y=5-s, z=2s,
e pede (a) a distância entre elas e (b) a reta que as intersecta perpendicularmente. Vamos usar vetores diretores, produto vetorial para a distância de retas reversas e condições de ortogonalidade para achar a reta comum perpendicular.

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e seus vetores diretores:
P1=(1,-2,3), v1=(4,-1,3), P2=(-3,5,0), v2=(1,-1,2)
O vetor que liga P1 a P2 é P1P2=P2-P1=(-4,7,-3).

Passo 3

A distância entre retas reversas é
d=l|P1P2cdot(v1timesv2)r||v1timesv2|
Calculamos
v1timesv2 =deti&j&k4&-1&31&-1&2 =(1,-5,-3),
P1P2cdot(v1timesv2) =(-4)cdot1+7cdot(-5)+(-3)cdot(-3)=-30,
|v1timesv2|=raiz1^2+(-5)^2+(-3)^2=raiz35
Logo
d=|-30|raiz35=30raiz35 =30raiz3535 =6raiz357

Passo 4

Para achar a reta comum perpendicular, procuremos os pontos
A(t)=(1+4t,,-2-t,,3+3t)in r1, B(s)=(-3+s,,5-s,,2s)in r2
tendo o vetor AB=B(s)-A(t) ortogonal a v1 e a v2. As condições são
ABcdotv1=0, ABcdotv2=0

Passo 5

Escrevendo
obtém-se o sistema
Da segunda equação vem e então . Assim
O vetor diretor da reta perpendicular é
, que é paralelo a .

Passo 6

Escolhendo o ponto Al(-tfrac17r) e vetor diretor (-1,5,3), a reta comum perpendicular tem equação paramétrica
ell: x=tfrac37-u, y=-tfrac137+5u, z=tfrac187+3u

Resposta

Distância entre r1 e r2: 6raiz357
Equação da reta perpendicular que intersecta ambas:
ell: x=tfrac37-u, y=-tfrac137+5u, z=tfrac187+3u

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