Calcule a distância entre as retas. L_{1}\left\{\begin{array}{l}x=z-1 \\\ y=3 z-2\end{array} \quad\right. e \quad L_{2}\left\{\begin{array}{l}3 x-2 z+3=0 \\\ y-z-2=0\end{array}\right.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas retas em \mathbb{R}^3\),
\(\displaystyle L_{1}:\begin{cases}x=z-1\y=3z-2\end{cases} e
O conteúdo aqui é a distância mínima entre retas (geralmente retilíneas e possivelmente reversas).
Para resolver, vamos obter equações paramétricas, extrair vetores diretores e pontos de cada reta, calcular o produto vetorial e aplicar a fórmula da distância entre retas em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Obtemos a equação paramétrica de L_{1} definindo z=t. Então
L_{1}:\;(x,y,z)=(t-1,\;3t-2,\;t).
Dessa forma, o vetor diretor de L_{1} é \displaystyle \mathbf{d}_{1}=(1,3,1)
e um ponto que pertence a L_{1} (tome t=0) é \displaystyle A=(-1,-2,0).
Passo 3
Para L_{2}, tomamos z=s. Da segunda equação vem y=s+2, e da primeira
d =\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}')\bigr|} {\|\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}'\|}.
Calculando o produto escalar no numerador, \displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot(6,-1,-3)
=0\cdot6+4\cdot(-1)+0\cdot(-3)=-4, cujo valor absoluto é 4.
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