Calcule a distância entre as retas.
L_{1}\left\{\begin{array}{l}x=z-1 \\\ y=3 z-2\end{array} \quad\right. e \quad L_{2}\left\{\begin{array}{l}3 x-2 z+3=0 \\\ y-z-2=0\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas retas em \mathbb{R}^3\), \(\displaystyle L_{1}:\begin{cases}x=z-1\y=3z-2\end{cases} e
\displaystyle L_{2}:\begin{cases}3x-2z+3=0\y-z-2=0\end{cases}.
O conteúdo aqui é a distância mínima entre retas (geralmente retilíneas e possivelmente reversas).
Para resolver, vamos obter equações paramétricas, extrair vetores diretores e pontos de cada reta, calcular o produto vetorial e aplicar a fórmula da distância entre retas em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Obtemos a equação paramétrica de L_{1} definindo z=t. Então
L_{1}:\;(x,y,z)=(t-1,\;3t-2,\;t).
Dessa forma, o vetor diretor de L_{1} é
\displaystyle \mathbf{d}_{1}=(1,3,1)
e um ponto que pertence a L_{1} (tome t=0) é
\displaystyle A=(-1,-2,0).

Passo 3

Para L_{2}, tomamos z=s. Da segunda equação vem y=s+2, e da primeira
3x-2s+3=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2}{3}s-1.
Assim a forma paramétrica é
L_{2}:\;(x,y,z)=\bigl(\tfrac{2}{3}s-1,\;s+2,\;s\bigr).
O vetor diretor de L_{2} é
\displaystyle \mathbf{d}_{2}=(\tfrac{2}{3},1,1)
e um ponto de L_{2} (tome s=0) é
\displaystyle B=(-1,2,0).

Passo 4

Para facilitar o cálculo do produto vetorial, escalo \mathbf{d}_{2} por 3 e uso
\displaystyle \mathbf{d}_{2}'=(2,3,3). Então
\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}' =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&3&1\\\\ 2&3&3 \end{pmatrix} =(6,-1,-3).
O módulo desse vetor é
\|\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}'\| =\sqrt{6^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{36+1+9} =\sqrt{46}.

Passo 5

O vetor que liga A a B é
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,4,0).

Passo 6

A fórmula da distância entre as retas é
d =\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}')\bigr|} {\|\mathbf{d}_{1}\times\mathbf{d}_{2}'\|}.
Calculando o produto escalar no numerador,
\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot(6,-1,-3) =0\cdot6+4\cdot(-1)+0\cdot(-3)=-4, cujo valor absoluto é 4.
Logo
d=\frac{4}{\sqrt{46}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{\sqrt{46}}

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