Calcule a distância entre as retas paralelas dadas a seguir.
L_{1}: x=\frac{y-3}{2}=z-2, \quad e \quad L_{2}: x-3=\frac{y+1}{2}=z-2

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas paralelas L_{1} e L_{2} no espaço. O conteúdo envolve parametrizar cada reta, extrair um vetor diretor comum e um vetor que liga um ponto de L_{1} a um ponto de L_{2}, e então usar a fórmula da distância entre retas paralelas:
\text{dist}(L_{1},L_{2}) =\frac{\bigl\|\,(P_{2}P_{1})\times d\bigr\|}{\|d\|}.

Passo 2

Parametrizamos L_{1} e L_{2}. Para L_{1}:
x = t,\quad \frac{y-3}{2}=t,\quad z-2 = t \;\Longrightarrow\; P_{1}(t)=(t,\;2t+3,\;t+2).
Escolhemos t=0, obtendo um ponto de L_{1}:
P_{1}=(0,\,3,\,2).
Para L_{2}:
x-3 = s,\quad \frac{y+1}{2}=s,\quad z-2 = s \;\Longrightarrow\; P_{2}(s)=(s+3,\;2s-1,\;s+2).
Escolhemos s=0, obtendo um ponto de L_{2}:
P_{2}=(3,\,-1,\,2).
Em ambas as parametrizações o vetor diretor é
d=(1,2,1).

Passo 3

Formamos o vetor que liga P_{2} a P_{1}:
\overrightarrow{P_{2}P_{1}} =P_{1}-P_{2} =(0-3,\;3-(-1),\;2-2) =(-3,\,4,\,0).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e suas normas:
\overrightarrow{P_{2}P_{1}}\times d = (-3,4,0)\times(1,2,1) =(4\cdot1-0\cdot2,\;0\cdot1-(-3)\cdot1,\;-3\cdot2-4\cdot1) =(4,\,3,\,-10),
\bigl\|\overrightarrow{P_{2}P_{1}}\times d\bigr\| =\sqrt{4^{2}+3^{2}+(-10)^{2}} =\sqrt{16+9+100} =\sqrt{125} =5\sqrt{5},
\|d\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}} =\sqrt{6}.
Portanto a distância é
\text{dist}(L_{1},L_{2}) =\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}} =\frac{5\sqrt{30}}{6}.

Resposta

A distância entre as duas retas é
\frac{5\sqrt{30}}{6}.

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