Calcule a distância entre as retas paralelas dadas.
x=\frac{y-3}{2}=z-2 \quad x-3=\frac{y+1}{2}=z-2

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas em forma simétrica e pede a distância entre elas. As retas fornecidas são:
x=\frac{y-3}{2}=z-2
x-3=\frac{y+1}{2}=z-2
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Existem duas retas no espaço (3D), escritas em forma simétrica.
  • As duas retas são paralelas (isso pode ser visto porque as razões correspondentes são as mesmas).
  • O objetivo é calcular a distância mínima entre essas duas retas paralelas (a distância ortogonal entre elas).

Passo 2

Primeiro vamos converter cada forma simétrica numa forma paramétrica mais clara (isso facilita pegar um ponto em cada reta e o vetor direção).
Para a primeira reta, ponha um parâmetro t tal que
t = x = \frac{y-3}{2} = z-2.
Daí:
x=t,\qquad y-3=2t\Rightarrow y=2t+3,\qquad z= t+2.
Assim a forma paramétrica da primeira reta r_1 é
r_1:\; (x,y,z)=(0,3,2)+t(1,2,1).
Logo um ponto da reta é P_1=(0,3,2) (obtido com t=0) e o vetor direção é
\mathbf{v}=(1,2,1).

Passo 3

Para a segunda reta, ponha um parâmetro s tal que
s = x-3 = \frac{y+1}{2} = z-2.
Daí:
x=s+3,\qquad y+1=2s\Rightarrow y=2s-1,\qquad z=s+2.
A forma paramétrica da segunda reta r_2 é
r_2:\; (x,y,z)=(3,-1,2)+s(1,2,1).
Um ponto da segunda reta é P_2=(3,-1,2) (com s=0) e o vetor direção é o mesmo
\mathbf{v}=(1,2,1).
Comentário amigo: pegar pontos e vetores diretores é o passo básico pra medir distância entre retas.

Passo 4

Agora explico a ideia geométrica/fórmula que vamos usar (bem didático):
  • Seja \mathbf{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1 o vetor que liga um ponto de r_1 a um ponto de r_2.
  • A distância entre duas retas paralelas é a componente de \mathbf{u} perpendicular ao vetor direção \mathbf{v}.
  • A área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v} é \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.
  • Essa área também é igual a \|\mathbf{v}\| vezes a altura do paralelogramo, e essa altura é exatamente a distância d entre as retas.
    Portanto a fórmula usada é
d=\frac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Aqui:
  • \mathbf{u}\times\mathbf{v} é o produto vetorial (cross product) de \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • \|\cdot\| denota a norma (comprimento) do vetor.

Passo 5

Calculemos \mathbf{u}=\overrightarrow{P_1P_2}. Como P_1=(0,3,2) e P_2=(3,-1,2),
\mathbf{u}=P_2-P_1=(3,-1,2)-(0,3,2)=(3,-4,0).

Passo 6

Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} com \mathbf{u}=(3,-4,0) e \mathbf{v}=(1,2,1).
Usando a fórmula componente a componente:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Substituindo os valores:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \bigl((-4)\cdot 1 - 0\cdot 2,\; 0\cdot 1 - 3\cdot 1,\; 3\cdot 2 - (-4)\cdot 1\bigr).
Calculando cada componente:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-4,\,-3,\,6+4)=(-4,-3,10).

Passo 7

Calculemos agora as normas necessárias.
Primeiro a norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+10^2}=\sqrt{16+9+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}.
Em seguida a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.

Passo 8

Finalmente aplicamos a fórmula da distância:
d=\frac{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.
Podemos racionalizar o denominador (opcional) multiplicando numerador e denominador por \sqrt{6}:
d=\frac{5\sqrt{5}\,\sqrt{6}}{6}=\frac{5\sqrt{30}}{6}.

Resposta

\dfrac{5\sqrt{30}}{6}

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