Calcule a distância entre as retas paralelas dadas. x=\frac{y-3}{2}=z-2 \quad x-3=\frac{y+1}{2}=z-2
Passo 1
O enunciado dá duas retas paralelas em forma simétrica e pede a distância entre elas. As retas fornecidas são:
x=\frac{y-3}{2}=z-2
x-3=\frac{y+1}{2}=z-2
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Existem duas retas no espaço (3D), escritas em forma simétrica.
As duas retas são paralelas (isso pode ser visto porque as razões correspondentes são as mesmas).
O objetivo é calcular a distância mínima entre essas duas retas paralelas (a distância ortogonal entre elas).
Passo 2
Primeiro vamos converter cada forma simétrica numa forma paramétrica mais clara (isso facilita pegar um ponto em cada reta e o vetor direção).
Para a primeira reta, ponha um parâmetro t tal que
Um ponto da segunda reta é P_2=(3,-1,2) (com s=0) e o vetor direção é o mesmo
\mathbf{v}=(1,2,1).
Comentário amigo: pegar pontos e vetores diretores é o passo básico pra medir distância entre retas.
Passo 4
Agora explico a ideia geométrica/fórmula que vamos usar (bem didático):
Seja \mathbf{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1 o vetor que liga um ponto de r_1 a um ponto de r_2.
A distância entre duas retas paralelas é a componente de \mathbf{u} perpendicular ao vetor direção \mathbf{v}.
A área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v} é \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.
Essa área também é igual a \|\mathbf{v}\| vezes a altura do paralelogramo, e essa altura é exatamente a distância d entre as retas.
Portanto a fórmula usada é