Verifique (e explique por que) se π_{1}=π_{2} nos seguintes casos:
\quad π_{1}: \mathrm{X}=(1,2,1)+λ(1,-1,2)+μ\left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3},-1\right)\\\[ π_{2}: X=(1,2,1)+α(-1,1,-2)+β(-3,4,-6) \]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \pi_{1}=\pi_{2}. As informações fornecidas são as parametrizações das duas superfícies (planos) no \mathbb{R}^{3}:
  • Para \pi_{1}:
    X=(1,2,1)+\lambda(1,-1,2)+\mu\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},-1\right).
    Deste formato extraem-se o ponto-base e os vetores-direção:
    P_1=(1,2,1),\quad v_1=(1,-1,2),\quad w_1=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},-1\right).
  • Para \pi_{2}:
    X=(1,2,1)+\alpha(-1,1,-2)+\beta(-3,4,-6).
    Deste formato extraem-se:
    P_2=(1,2,1),\quad v_2=(-1,1,-2),\quad w_2=(-3,4,-6).
A pergunta concreta é: as duas parametrizações descrevem o mesmo conjunto de pontos no \mathbb{R}^{3} (ou seja, o mesmo plano)?

Passo 2

Comparar os vetores-direção entre si: verificar se os vetores de \pi_{2} são múltiplos escalares dos vetores de \pi_{1} (isso mostra que geram o mesmo subespaço-direção).
Calcular relações simples:
v_1=(1,-1,2),\qquad v_2=(-1,1,-2).
Observa-se que
v_2=-1\cdot v_1.
Agora para w_1 e w_2:
w_1=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3},-1\right),\qquad w_2=(-3,4,-6).
Multiplicando w_1 por 6 obtemos
6\cdot w_1=\bigl(6\cdot(-\tfrac{1}{2}),\;6\cdot\tfrac{2}{3},\;6\cdot(-1)\bigr)=(-3,4,-6)=w_2.
Logo
w_2=6\cdot w_1.
Conclusão deste passo: cada vetor-direção de \pi_{2} é um múltiplo escalar de um vetor-direção de \pi_{1}. Portanto os dois pares de vetores-direção geram o mesmo plano de direções (mesmo subespaço de dimensão \le 2).

Passo 3

Explicar por que essa relação entre vetores-direção implica que os planos são paralelos (ou iguais): se os dois planos têm o mesmo subespaço de direções (mesma coleção de combinações lineares dos vetores-direção), então eles são planos paralelos (podem ser o mesmo plano ou deslocados um do outro). Para confirmar igualdade precisamos ver se existe pelo menos um ponto comum entre eles.
Uma verificação extra, por via dos normais, reforça a ideia: o normal de um plano parametrizado por dois vetores a,b é n=a\times b. Calcular n_1=v_1\times w_1 mostrando passos:
Fórmula do produto vetorial para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3):
a\times b=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando a v_1 e w_1:
v_1\times w_1=\bigl{(}(-1)\cdot(-1)-2\cdot\tfrac{2}{3},\;2\cdot(-\tfrac{1}{2})-1\cdot(-1),\;1\cdot\tfrac{2}{3}-(-1)\cdot(-\tfrac{1}{2})\bigr{)}.
Calculemos componente a componente:
\text{1ª comp. }=(-1)\cdot(-1)-2\cdot\tfrac{2}{3}=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3},ª
\text{2ª comp. }=2\cdot(-\tfrac{1}{2})-1\cdot(-1)=-1+1=0,ª
\text{3ª comp. }=1\cdot\tfrac{2}{3}-(-1)\cdot(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}.ª
Portanto
n_1=v_1\times w_1=\bigl(-\tfrac{1}{3},0,\tfrac{1}{6}\bigr).
Multiplicando por 6 para evitar frações, um normal equivalente é
\tilde{n}_1=(-2,0,1).
Para \pi_{2}, usando que v_2=-v_1 e w_2=6w_1,
v_2\times w_2=(-v_1)\times(6w_1)=-6\,(v_1\times w_1)=-6\,n_1.
Logo o normal de \pi_{2} é proporcional ao normal de \pi_{1} (na prática obtemos (2,0,-1), o oposto de \tilde{n}_1). Isso confirma que os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Verificar pontos-base: os pontos-base dados nas parametrizações são idênticos:
P_1=(1,2,1),\qquad P_2=(1,2,1).
Isto significa que os dois planos paralelos têm pelo menos um ponto em comum (na verdade têm o mesmo ponto-base). Se dois planos são paralelos e compartilham um ponto, então são o mesmo plano (porque o plano é completamente determinado por um ponto e pelo subespaço-direção de dimensão 2).
Também pode-se ver de forma direta: como os vetores-direção de \pi_{2} estão no span \{v_1,w_1\} e o ponto-base é o mesmo, qualquer combinação (1,2,1)+\alpha v_2+\beta w_2 pode ser escrita como (1,2,1)+\lambda v_1+\mu w_1 (basta escolher \lambda=-\alpha e \mu=6\beta usando as relações encontradas). Isso mostra que cada ponto de \pi_{2} está em \pi_{1}, e vice‑versa. Portanto os conjuntos de pontos coincidem.

Passo 5

Conclusão final (resumindo de forma direta e amigável): os dois vetores-direção de \pi_{2} são múltiplos escalares dos vetores-direção de \pi_{1} e os pontos-base são idênticos. Logo as duas parametrizações descrevem exatamente o mesmo plano.

Resposta

\pi_{1}=\pi_{2}

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