Verifique (e explique por que) se
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
. As informações fornecidas são as parametrizações das duas superfícies (planos) no
:
-
Para
: Deste formato extraem-se o ponto-base e os vetores-direção: -
Para
: Deste formato extraem-se:
A pergunta concreta é: as duas parametrizações descrevem o mesmo conjunto de pontos no
(ou seja, o mesmo plano)?
Passo 2
Comparar os vetores-direção entre si: verificar se os vetores de
são múltiplos escalares dos vetores de
(isso mostra que geram o mesmo subespaço-direção).
Calcular relações simples:
Observa-se que
Agora para
e
:
Multiplicando
por
obtemos
Logo
Conclusão deste passo: cada vetor-direção de
é um múltiplo escalar de um vetor-direção de
. Portanto os dois pares de vetores-direção geram o mesmo plano de direções (mesmo subespaço de dimensão
).
Passo 3
Explicar por que essa relação entre vetores-direção implica que os planos são paralelos (ou iguais): se os dois planos têm o mesmo subespaço de direções (mesma coleção de combinações lineares dos vetores-direção), então eles são planos paralelos (podem ser o mesmo plano ou deslocados um do outro). Para confirmar igualdade precisamos ver se existe pelo menos um ponto comum entre eles.
Uma verificação extra, por via dos normais, reforça a ideia: o normal de um plano parametrizado por dois vetores
é
. Calcular
mostrando passos:
Fórmula do produto vetorial para
e
:
Aplicando a
e
:
Calculemos componente a componente:
Portanto
Multiplicando por
para evitar frações, um normal equivalente é
Para
, usando que
e
,
Logo o normal de
é proporcional ao normal de
(na prática obtemos
, o oposto de
). Isso confirma que os planos são paralelos (ou coincidentes).
Passo 4
Verificar pontos-base: os pontos-base dados nas parametrizações são idênticos:
Isto significa que os dois planos paralelos têm pelo menos um ponto em comum (na verdade têm o mesmo ponto-base). Se dois planos são paralelos e compartilham um ponto, então são o mesmo plano (porque o plano é completamente determinado por um ponto e pelo subespaço-direção de dimensão 2).
Também pode-se ver de forma direta: como os vetores-direção de
estão no span
e o ponto-base é o mesmo, qualquer combinação
pode ser escrita como
(basta escolher
e
usando as relações encontradas). Isso mostra que cada ponto de
está em
, e vice‑versa. Portanto os conjuntos de pontos coincidem.
Passo 5
Conclusão final (resumindo de forma direta e amigável): os dois vetores-direção de
são múltiplos escalares dos vetores-direção de
e os pontos-base são idênticos. Logo as duas parametrizações descrevem exatamente o mesmo plano.