Descreva a interseção entre as seguintes superfícies:
(e) \varphi=60^{\circ}, \quad z=10

Passo 1

O enunciado pede para descrever a interseção entre duas superfícies dadas:
  • \varphi = 60^\circ,
  • z = 10.
As informações relevantes são, portanto, apenas essas duas equações. A pergunta é: qual é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente \varphi=60^\circ e z=10?

Passo 2

Antes de começar a manipular as equações, preciso dizer qual convenção de coordenadas estou usando e o que cada símbolo significa (isto é obrigatório para não deixar ambiguidades).
Adoto a convenção esférica padrão:
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x);
  • \varphi é o ângulo polar (colatitude), isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo; \varphi\in[0,\pi].
As relações entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Além disso definimos o raio cilíndrico no plano xy por
r=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi.
Motivo da escolha: a notação \varphi=60^\circ é tipicamente usada para indicar o ângulo polar em coordenadas esféricas; essa interpretação leva a uma superfície cônica (mais interessante do que uma simples plana vertical), e é a convenção padrão em muitos textos. Vou seguir essa interpretação e, quando necessário, mostrar as relações cartesianas equivalentes.

Passo 3

Escrevendo a superfície \varphi=60^\circ em termos de r e z:
Da relação esférica z=\rho\cos\varphi e r=\rho\sin\varphi temos, para pontos onde \rho\neq0,
\frac{r}{z}=\frac{\rho\sin\varphi}{\rho\cos\varphi}=\tan\varphi.
Logo a superfície \varphi=60^\circ satisfaz
r = z\tan 60^\circ.
Como \tan 60^\circ=\sqrt{3}, podemos escrever em forma cartesiana:
\sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{3}\, z.
Elevando ao quadrado (forma algébrica conveniente),
x^2+y^2 = 3 z^2.
Essa é a equação (cartesiana) do cone com vértice na origem e eixo no eixo z. (Observação: a equação algébrica representa tanto a nappe superior quanto a inferior do cone; a condição esférica \varphi=60^\circ aponta para a posição da cunha superior, mas para a interseção com z=10 vamos usar z>0.)

Passo 4

Agora interpomos a outra superfície: z=10. Substituindo z=10 na equação do cone:
x^2+y^2 = 3\cdot(10)^2 = 300.
Portanto, o conjunto de pontos comuns satisfaz
x^2+y^2 = 300,\qquad z=10.

Passo 5

Interpretando geometricamente e dando uma parametrização:
A equação x^2+y^2=300 no plano z=10 é um círculo de centro no ponto (0,0,10) (projeção do eixo z nesse plano) e raio
\sqrt{300}=10\sqrt{3}.
Uma parametrização conveniente (usando parâmetro \theta, que aqui coincide com o ângulo azimutal esférico) é
\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr) = \bigl(10\sqrt{3}\cos\theta,\;10\sqrt{3}\sin\theta,\;10\bigr),\qquad \theta\in[0,2\pi).
Também é útil verificar em esféricas: para qualquer \theta escolhido, \rho=\sqrt{r^2+z^2}=\sqrt{300+100}=20, e então \cos\varphi=z/\rho=10/20=1/2, o que dá \varphi=60^\circ como exigido.

Passo 6

Resumo didático (para saber o que fazer numa prova):
  • Transforme \varphi=60^\circ em uma relação entre r=\sqrt{x^2+y^2} e z: r=z\tan 60^\circ.
  • Substitua a equação do plano z=10 e resolva para x^2+y^2.
  • Reconheça a curva resultante (aqui um círculo) e escreva centro/raio ou parametrização.

Resposta

A interseção é o círculo de centro (0,0,10) e raio 10\sqrt{3}; equação \;x^2+y^2=300,\\ z=10, parametrizado por \;(x,y,z)=(10\sqrt{3}\cos\theta,\,10\sqrt{3}\sin\theta,\,10),\\ \theta\in[0,2\pi).

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