Descreva a interseção entre as seguintes superfícies:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para descrever a interseção entre duas superfícies dadas:
-
, -
.
As informações relevantes são, portanto, apenas essas duas equações. A pergunta é: qual é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente
e
?
Passo 2
Antes de começar a manipular as equações, preciso dizer qual convenção de coordenadas estou usando e o que cada símbolo significa (isto é obrigatório para não deixar ambiguidades).
Adoto a convenção esférica padrão:
-
é a distância do ponto à origem (raio); -
é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo ); -
é o ângulo polar (colatitude), isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo; .
As relações entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
Além disso definimos o raio cilíndrico no plano
por
Motivo da escolha: a notação
é tipicamente usada para indicar o ângulo polar em coordenadas esféricas; essa interpretação leva a uma superfície cônica (mais interessante do que uma simples plana vertical), e é a convenção padrão em muitos textos. Vou seguir essa interpretação e, quando necessário, mostrar as relações cartesianas equivalentes.
Passo 3
Escrevendo a superfície
em termos de
e
:
Da relação esférica
e
temos, para pontos onde
,
Logo a superfície
satisfaz
Como
, podemos escrever em forma cartesiana:
Elevando ao quadrado (forma algébrica conveniente),
Essa é a equação (cartesiana) do cone com vértice na origem e eixo no eixo
. (Observação: a equação algébrica representa tanto a nappe superior quanto a inferior do cone; a condição esférica
aponta para a posição da cunha superior, mas para a interseção com
vamos usar
.)
Passo 4
Agora interpomos a outra superfície:
. Substituindo
na equação do cone:
Portanto, o conjunto de pontos comuns satisfaz
Passo 5
Interpretando geometricamente e dando uma parametrização:
A equação
no plano
é um círculo de centro no ponto
(projeção do eixo
nesse plano) e raio
Uma parametrização conveniente (usando parâmetro
, que aqui coincide com o ângulo azimutal esférico) é
Também é útil verificar em esféricas: para qualquer
escolhido,
, e então
, o que dá
como exigido.
Passo 6
Resumo didático (para saber o que fazer numa prova):
- Transforme
em uma relação entre e : . - Substitua a equação do plano
e resolva para . - Reconheça a curva resultante (aqui um círculo) e escreva centro/raio ou parametrização.
Resposta
A interseção é o círculo de centro
e raio
; equação
, parametrizado por
.