Calcule div F e rot F.
F(x, y, z)=x z^3 i+2 y^4 x^2 j+5 z^2 y k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a divergência (div) e o rotacional (rot) do campo vetorial . A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente as operações de divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas de div e rot, além de saber derivar parcialmente as componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
Aqui, , e são as componentes de nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos agora derivar cada componente de partial Fxpartial x = partialpartial x (x z^3) = z^3 em relação à sua própria variável:
  1. partial Fypartial y = partialpartial y (2 y^4 x^2) = 8 y^3 x^2
    partial Fzpartial z = partialpartial z (5 z^2 y) = 10 z y

Passo 4

Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
div F = z^3 + 8 y^3 x^2 + 10 z y

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . O rotacional indica a tendência do campo vetorial em girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 6

Vamos derivar as componentes necessárias:
  1. partialpartial y (5 z^2 y) = 5 z^2
    partialpartial z (2 y^4 x^2) = 0 (pois não há z em Fy)
  2. partialpartial z (x z^3) = 3 x z^2
    partialpartial x (5 z^2 y) = 0 (pois não há x em Fz) ãá
  3. partialpartial x (2 y^4 x^2) = 4 y^4 x
    partialpartial y (x z^3) = 0 (pois não há y em Fx)
  4. ãá
  5. ãá

Passo 7

Substituindo as derivadas na fórmula do rotacional:
rot F = (5 z^2 - 0) i + (3 x z^2 - 0) j + (4 y^4 x - 0) k
Simplificando:
rot F = 5 z^2 i + 3 x z^2 j + 4 y^4 x k

Resposta

A divergência de div F = z^3 + 8 y^3 x^2 + 10 z y é:
rot F = 5 z^2 i + 3 x z^2 j + 4 y^4 x k
E o rotacional de é:

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