Calcule div
e rot
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a divergência (div) e o rotacional (rot) do campo vetorial
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente as operações de divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas de div e rot, além de saber derivar parcialmente as componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
Aqui,
,
e
são as componentes de
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos agora derivar cada componente de
em relação à sua própria variável:
Passo 4
Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
Passo 5
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional indica a tendência do campo vetorial em girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 6
Vamos derivar as componentes necessárias:
Passo 7
Substituindo as derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Resposta
A divergência de
é:
E o rotacional de
é: