Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n n!n^3(x+2)^n

Passo 1

Temos a série de potências
sumn=1^infty(-1)^nn!n^3(x+2)^n
O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=(-1)^nn!n^3
Aplicando o teste da razão, analisamos
|an+1an| =(n+1)!/(n+1)^3n!/n^3 =n^3(n+1)(n+1)^3 =n^3(n+1)^2
Como
limntoinftyn^3(n+1)^2=infty,
temos
limntoinfty|an+1(x+2)^n+1an(x+2)^n| =|x+2|cdotinfty
Para convergir, é preciso que esse limite seja menor que 1, o que só acontece se |x+2|=0.

Passo 3

A condição |x+2|=0 implica x=-2. Nesse caso cada termo da série é zero e a soma converge trivialmente. Portanto o único ponto de convergência é x=-2.

Resposta

O intervalo de convergência reduz-se ao ponto x = -2.

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