Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Temos a série de potências centrada em x=5: . O que cai aqui é raio e intervalo de convergência de séries de potências. Para isso, vamos usar o teste da razão e depois verificar o que acontece nos extremos do intervalo.
Passo 2
Tomando os coeficientes , aplicamos o teste da razão: calculamos
Passo 3
Como esse limite é L=1/5, o raio de convergência é R=1/L=5. Assim a série converge (absolutamente) quando |x-5|<5 e diverge quando |x-5|>5.
Passo 4
Agora checamos os extremos:
Para x=10 temos
sumn=1^infty1n5^n(10-5)^n=sumn=1^infty5^nn5^n=sumn=1^infty1n,que é a série harmônica e diverge.
Para x=0 fica sumn=1^infty1n5^n(0-5)^n=sumn=1^infty(-5)^nn5^n=sumn=1^infty(-1)^nn,que é a série harmônica alternada e converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.