Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty 1n 5^n(x-5)^n

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x=5: sumn=1^infty 1n5^n(x-5)^n. O que cai aqui é raio e intervalo de convergência de séries de potências. Para isso, vamos usar o teste da razão e depois verificar o que acontece nos extremos do intervalo.

Passo 2

Tomando os coeficientes an=1n5^n, aplicamos o teste da razão: calculamos
limntoinfty|an+1an|=limntoinftynn+1cdot15=15

Passo 3

Como esse limite é L=1/5, o raio de convergência é R=1/L=5. Assim a série converge (absolutamente) quando |x-5|<5 e diverge quando |x-5|>5.

Passo 4

Agora checamos os extremos:
Para x=10 temos
sumn=1^infty1n5^n(10-5)^n=sumn=1^infty5^nn5^n=sumn=1^infty1n,que é a série harmônica e diverge.
Para x=0 fica
sumn=1^infty1n5^n(0-5)^n=sumn=1^infty(-5)^nn5^n=sumn=1^infty(-1)^nn,que é a série harmônica alternada e converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é [0,10).

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