Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n^22^3 n(x+4)^n

Passo 1

A gente tem a série de potências centrada em x₀=–4 dada por
sumn=0^infty n^22^3n(x+4)^n,
ou seja, com coeficientes an=n^28^n. O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências e depois testar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, calculamos
L=limntoinfty|an+1(x+4)^n+1an(x+4)^n|
Substituindo an, fica
L=|x+4|,limntoinfty(n+1)^2/8^n+1n^2/8^n =|x+4|,limntoinfty(n+1)^2n^2cdot18

Passo 3

Como limntoinfty(n+1)^2/n^2=1, o limite do teste da razão é
L=|x+4|8
Pela convergência absoluta, precisamos de L<1, isto é |x+4|<8. Logo o raio de convergência é R=8.

Passo 4

Agora testamos o extremo direito x=4. Nesse caso x+4=8 e a série vira
sumn=0^infty n^28^n,8^n = sumn=0^infty n^2,
que diverge porque o termo geral não tende a zero.

Passo 5

Testando o extremo esquerdo x=-12, temos x+4=-8 e a soma fica
sumn=0^infty n^28^n(-8)^n = sumn=0^infty n^2(-1)^n
De novo o termo geral n^2(-1)^n não vai a zero, logo diverge.

Passo 6

Como em ambos os casos nos extremos a série diverge, o intervalo de convergência é aberto, dado por (12,4).

Resposta

(–12,4)

Exercícios relacionados