Calcule o Div F(x, y, z) e o Rot F(x, y, z) dos seguintes campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a divergência ( Div F) e o rotacional ( Rot F) do campo vetorial dado:
F(x, y, z) = (e^x y z^2 + y) i + (e^x z^2 + x) j + 2 e^x y z^2 k
Para isso, vamos precisar saber as fórmulas para calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial e como aplicar derivadas parciais nas componentes desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
Div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Vamos identificar as componentes:
P = e^x y z^2 + y, Q = e^x z^2 + x, R = 2 e^x y z^2
Agora, calculamos cada derivada parcial:
  1. partial Ppartial x:
partialpartial x(e^x y z^2 + y) = e^x y z^2 + 0 = e^x y z^2
  1. partial Qpartial y:
partialpartial y(e^x z^2 + x) = 0 + 0 = 0
  1. partial Rpartial z:
partialpartial z(2 e^x y z^2) = 2 e^x y cdot 2 z = 4 e^x y z

Passo 3

Agora, somamos as derivadas parciais para obter a divergência:
Div F = e^x y z^2 + 0 + 4 e^x y z = e^x y z^2 + 4 e^x y z = e^x y z (z + 4)

Passo 4

Vamos calcular agora o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
Rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. partial Rpartial y:
partialpartial y(2 e^x y z^2) = 2 e^x z^2
  1. partial Qpartial z:
partialpartial z(e^x z^2 + x) = 2 e^x z
Portanto:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 2 e^x z^2 - 2 e^x z = 2 e^x z(z - 1)
  1. partial Ppartial z:
partialpartial z(e^x y z^2 + y) = 2 e^x y z
  1. partial Rpartial x:
partialpartial x(2 e^x y z^2) = 2 e^x y z^2
Portanto:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 2 e^x y z - 2 e^x y z^2 = 2 e^x y z (1 - z)
  1. partial Qpartial x:
partialpartial x(e^x z^2 + x) = e^x z^2 + 1
  1. partial Ppartial y:
partialpartial y(e^x y z^2 + y) = e^x z^2 + 1
Portanto:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (e^x z^2 + 1) - (e^x z^2 + 1) = 0

Resposta

A divergência e o rotacional do campo vetorial F são:
Div F = e^x y z (z + 4)
Rot F = (2 e^x z(z - 1)) i + (2 e^x y z (1 - z)) j + 0 k

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