Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo que sua abscissa s no instante t é dada por s=a cdot cos (k t+ell), sendo a, k, e ell constantes dadas. Determine:
instantes e posições em que é máxima a velocidade do móvel;

Passo 1

O enunciado diz que a posição do móvel é dada por s(t)=acos(k t+ell). O conteúdo é cinemática elementar e vamos precisar usar derivadas para obter a expressão da velocidade e então achar seus máximos.

Passo 2

Para obter a velocidade, derivamos s(t) em relação a t. Isso nos dá:
v(t)=dsdt=-a ksin(k t+ell)

Passo 3

Para encontrar os extremos de v(t), impomos dv/dt=0. Primeiro calculamos a derivada de v(t):
dvdt=-a k^2cos(k t+ell)

Passo 4

A condição dv/dt=0 implica
cos(k t+ell)=0

Passo 5

Logo
k t+ell=pi2+pi n, ninZ

Passo 6

Nesses instantes, a velocidade vale
v= -a ksinl(tfracpi2+pi nr)=-a k(-1)^n

Passo 7

Para que v seja máximo positivo, precisamos de -a k(-1)^n=+a k. Como a k>0, isso ocorre quando (-1)^n=-1, i.e. n=2m+1.

Passo 8

Portanto os instantes de velocidade máxima são
tm=3pi/2+2pi m-ellk, minZ

Passo 9

Para esses tm, a posição é
s(tm)=acosl(3pi/2+2pi mr)=0

Resposta

Os instantes de velocidade máxima são
tm=3pi/2+2pi m-ellk, minZ,
e a posição correspondente é
s=0 com velocidade máxima vmax=a k.

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