1- Dada a função escalar
, calcule campo vetorial gradiente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo vetorial gradiente da função escalar
. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a cada variável (
,
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e tem como componentes as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, se temos uma função
, o gradiente é dado por:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que consideramos
e
como constantes e derivamos em relação a
:
Explicando: a derivada de
é
, então multiplicamos por
. E a derivada de
em relação a
é apenas
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
e
como constantes:
Explicação: a derivada de
em relação a
é
, então multiplicamos por
. E a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Por fim, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
e
são constantes:
Explicação: a derivada de
em relação a
é
, então multiplicamos por
. A segunda parte,
, não depende de
, então sua derivada é
.
Resposta
Portanto, o campo vetorial gradiente de
é: