1- Dada a função escalar emptyset(x, y, z)=e^x y z^2+x y, calcule campo vetorial gradiente de emptyset nabla varnothing(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo vetorial gradiente da função escalar varnothing(x, y, z) = e^x y z^2 + x y. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a cada variável ( x, y e z).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e tem como componentes as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, se temos uma função varnothing(x, y, z), o gradiente é dado por:
nabla varnothing = ( partial varnothingpartial x, partial varnothingpartial y, partial varnothingpartial z )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de varnothing em relação a x. Isso significa que consideramos y e z como constantes e derivamos em relação a x:
partial varnothingpartial x = partialpartial x ( e^x y z^2 + x y ) = e^x y z^2 + y
Explicando: a derivada de e^x é e^x, então multiplicamos por y z^2. E a derivada de x y em relação a x é apenas y.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de varnothing em relação a y. Aqui, tratamos x e z como constantes:
partial varnothingpartial y = partialpartial y ( e^x y z^2 + x y ) = e^x z^2 + x
Explicação: a derivada de y em relação a y é 1, então multiplicamos por e^x z^2. E a derivada de x y em relação a y é x.

Passo 5

Por fim, calculamos a derivada parcial de varnothing em relação a z. Aqui, x e y são constantes:
partial varnothingpartial z = partialpartial z ( e^x y z^2 + x y ) = 2 e^x y z
Explicação: a derivada de z^2 em relação a z é 2z, então multiplicamos por e^x y. A segunda parte, x y, não depende de z, então sua derivada é 0.

Resposta

Portanto, o campo vetorial gradiente de varnothing(x, y, z) é:
nabla varnothing(x, y, z) = ( e^x y z^2 + y, e^x z^2 + x, 2 e^x y z )

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