Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo que sua abscissa s no instante t é dada por s=a cdot cos (k t+ell), sendo a, k, e ell constantes dadas. Determine:
instantes e posições em que é mínima a aceleração do móvel.

Passo 1

Temos um móvel cuja abscissa é dada por s = a cos(k t + ell). O conteúdo é Cinemática unidimensional e vamos precisar derivar duas vezes para obter a aceleração e depois analisar seus extremos.

Passo 2

Primeiro derivamos uma vez para obter a velocidade:
v(t) = dsdt = -a k sin(k t + ell)
Em seguida derivamos novamente para obter a aceleração:
a(t) = d^2sdt^2 = -a k^2 cos(k t + ell)

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos de a(t), calculamos sua derivada e igualamos a zero:

Isso implica

Passo 4

Substituímos k t + ell = npi em a(t):
an = -a k^2 cos(npi) = -a k^2(-1)^n
Como a>0 e k^2>0, esse valor alterna entre -a k^2 (para n par) e +a k^2 (para n ímpar). O valor mínimo é -a k^2, que ocorre quando n é par.

Passo 5

Logo, para n=2m obtemos
k t + ell = 2mpi Longrightarrow tm = 2mpi - ellk,;minZ,
e as posições correspondentes são
sm = a cos(2mpi) = a

Resposta

Os instantes de aceleração mínima são t = 2mpi - ellk, minZ, e as posições correspondentes são s = a.

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