Calcule div(F) e rot(F) sendo:
F(x, y, z)=(6 x y^3+2 z^2, 9 x^2 y^2, 4 x z+1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(F1,,F2,,F3r)
com
F1 = 6x y^3 + 2z^2, F2 = 9x^2 y^2, F3 = 4x z + 1
Pede-se a divergência divF e o rotacional rotF. Para isso vamos usar definição de derivadas parciais.

Passo 2

A divergência é dada por
divF = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Calculando cada termo:
partial F1partial x = partialpartial x(6x y^3 + 2z^2) = 6y^3,
partial F2partial y = partialpartial y(9x^2 y^2) = 18x^2 y,
partial F3partial z = partialpartial z(4x z + 1) = 4x

Passo 3

Somando os três resultados, obtemos
divF = 6y^3 ;+; 18x^2 y ;+; 4x

Passo 4

O rotacional em coordenadas cartesiana é
rotF = l( partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial y r)
Vamos calcular cada componente:
partial F3partial y =0, partial F2partial z=0 implies (1^a comp)=0-0=0,
partial F1partial z =4z, partial F3partial x=4z implies (2^a comp)=4z-4z=0,
partial F2partial x =18x y^2, partial F1partial y=18x y^2 implies (3^a comp)=18x y^2-18x y^2=0

Passo 5

Como todas as componentes são zero, concluímos que
rotF = (0,0,0)

Resposta

divF = 6y^3 + 18x^2 y + 4x
rotF = (0,0,0)

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