Encontre as constantes A e B de forma que a função y=A sin x+B cos x satisfaça a equação diferencial y^prime prime+y^prime-2 y=0 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as constantes A e B de modo que
y(x)=Asin x + Bcos x
seja solução da equação diferencial homogênea
y'' + y' - 2y = 0
Para resolver, vamos (i) calcular y' e y'', (ii) substituir na EDO e (iii) igualar a zero os coeficientes de sin x e cos x.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y:
y(x)=Asin x + Bcos x
y'(x)=Acos x ;-; Bsin x
y''(x)=-Asin x ;-; Bcos x

Passo 3

Substituindo na EDO y''+y'-2y=0 obtemos
(-Asin x - Bcos x);+;(Acos x - Bsin x);-;2(Asin x + Bcos x)=0
Agrupando termos em sin x e cos x:
(-A - B - 2A),sin x ;+;(A - B - 2B),cos x =0,
ou seja
(-3A - B),sin x ;+;(A - 3B),cos x =0

Passo 4

Como a combinação deve valer zero para todo x, cada coeficiente deve ser nulo:
-3A - B = 0, A - 3B = 0
Resolvendo esse sistema: da segunda equação A=3B. Substituindo na primeira:
-3(3B)-B=-10B=0;Longrightarrow;B=0,
logo A=3cdot0=0.

Resposta

A=0 e B=0.

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