Derive a função.
(a) f(x)=sin (ln x)
(b) f(x)=raiz[5]ln x
(c) f(x)=log 10(x^3+1)
(d) f(x)=sin x ln (5 x)
(e) g(x)=ln (x raizx^2-1)
(f) G(y)=ln (2 y+1)^5raizy^2+1
(g) F(s)=ln ln s
(h) y=tan [ln (a x+b)]
(i) y=ln (e^-x+x e^-x)
(j) y=2 x log 10 raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas de várias funções envolvendo produto, quociente e composição de funções elementares como sin x, tan x, ln x e log10x. Vamos usar:
– Regra da cadeia: se h(x)=H(u(x)), então h'(x)=H'(u(x)),u'(x).
– Regra do produto: (u,v)'=u',v+u,v'.
– Regra do quociente: l(u/vr)'=(u',v-u,v')/v^2.
– Derivadas básicas:
ddxln x=1x, ddxsin x=cos x, ddxtan x=sec^2x, ddxlog10x=1xln10.

Passo 2

(a) f(x)=sin(ln x). Seja u=ln x. Então
f'(x)=cos(u),u'=cos(ln x),1x
(b) f(x)=(ln x)^1/5. Seja u=ln x. Então
f'(x)=15,u^-4/5,u'=15(ln x)^-4/5,1x

Passo 3

(c) f(x)=log10(x^3+1). Use
ddxlog10g(x)=g'(x)g(x)ln10 com g(x)=x^3+1, g'(x)=3x^2. Logo
f'(x)=3x^2(x^3+1)ln10

Passo 4

(d) f(x)=sin x;ln(5x). Aplicando produto:
f'(x)=cos x;ln(5x)+sin x;ddxln(5x) =cos x,ln(5x)+sin x,15xcdot5 =cos x,ln(5x)+sin xx

Passo 5

(e) g(x)=lnl(xraizx^2-1r). Primeiro escreva
g(x)=ln x+lnl(x^2-1r)^1/2 =ln x+tfrac12ln(x^2-1)
Derivando:
g'(x)=1x+12cdot2xx^2-1 =1x+xx^2-1

Passo 6

(f) G(y)=ln(2y+1)^5raizy^2+1. Simplifique:
G(y)=5ln(2y+1)-tfrac12ln(y^2+1)
Derivando:
G'(y)=5cdot22y+1-tfrac12cdot2yy^2+1 =102y+1-yy^2+1

Passo 7

(g) F(s)=lnln s. Seja u=ln s. Então
F'(s)=1u,u'=1ln s,1s =1s,ln s

Passo 8

(h) y=tanl[ln(ax+b)r]. Seja u=ln(ax+b). Então
y'=sec^2(u),u' =sec^2!l(ln(ax+b)r),aax+b

Passo 9

(i) y=lnl(e^-x+x e^-xr). Note que e^-x+x e^-x=e^-x(1+x), então
y=ln e^-x+ln(1+x)=-x+ln(1+x)
Derivando:
y'=-1+11+x

Passo 10

(j) y=2x;log10raizx. Escreva log10raizx=log10(x^1/2)=12ln10ln x. Então
y=2xcdot12ln10ln x =xln xln10
Derivando:
y'=1ln10l(ln x+1r)

Resposta

(a) f'(x)=cos(ln x),1x
(b) f'(x)=15(ln x)^-4/5,1x
(c) f'(x)=3x^2(x^3+1)ln10
(d) f'(x)=cos x,ln(5x)+sin xx
(e) g'(x)=1x+xx^2-1
(f) G'(y)=102y+1-yy^2+1
(g) F'(s)=1s,ln s
(h) y'=sec^2!l(ln(ax+b)r),aax+b
(i) y'=-1+11+x
(j) y'=1ln10l(ln x+1r)

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