. Calcule \int_{1}^{4}\left(-x^{2}+5 x-9\right) d x e interprete o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(-x^{2}+5x-9\right)\,dx
e interpretar o resultado obtido.
Informações dadas: a função integranda é f(x)=-x^{2}+5x-9 e o intervalo de integração é [1,4].

Passo 2

Método: usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vou explicar isso rapidinho e de forma prática: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Polinômios são funções contínuas, então têm primitivas e podemos aplicar esse teorema sem problemas. A tarefa é achar uma primitiva F de f(x) e avaliar F(4)-F(1).

Passo 3

Como achar a primitiva de um polinômio: usamos a regra de potência termo a termo. A regra diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}
e constantes multiplicam. Aplicando termo a termo em f(x)=-x^{2}+5x-9:
  • \displaystyle \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int 5x\,dx = \frac{5}{2}x^{2}.
  • \displaystyle \int -9\,dx = -9x.
Portanto uma primitiva é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{5}{2}x^{2}-9x.

Passo 4

Calcular F(4). Substituindo x=4 em F(x):
F(4) = -\frac{4^{3}}{3}+\frac{5}{2}\cdot 4^{2}-9\cdot 4.
Compute passo a passo:
-\frac{4^{3}}{3} = -\frac{64}{3},\qquad \frac{5}{2}\cdot 4^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16 = 40,\qquad -9\cdot 4 = -36.
Logo
F(4) = -\frac{64}{3} + 40 - 36 = -\frac{64}{3} + 4 = -\frac{52}{3}.

Passo 5

Calcular F(1). Substituindo x=1:
F(1) = -\frac{1^{3}}{3}+\frac{5}{2}\cdot 1^{2}-9\cdot 1 = -\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-9.
Fazendo as contas:
\frac{5}{2}-9 = \frac{5}{2}-\frac{18}{2} = -\frac{13}{2},
então
F(1) = -\frac{1}{3}-\frac{13}{2} = -\frac{2}{6}-\frac{39}{6} = -\frac{41}{6}.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{4}\left(-x^{2}+5x-9\right)\,dx = F(4)-F(1) = -\frac{52}{3} -\Big(-\frac{41}{6}\Big).
Unificando denominadores:
-\frac{52}{3} + \frac{41}{6} = -\frac{104}{6} + \frac{41}{6} = -\frac{63}{6} = -\frac{21}{2}.
Em forma decimal isso é -10,5.

Passo 7

Interpretação do resultado: a integral definida representa a área algébrica (área assinada) entre a curva y=-x^{2}+5x-9 e o eixo x no intervalo [1,4]. Como a função é um polinômio de segundo grau, podemos verificar se ela muda de sinal no intervalo; resolvendo a equação -x^{2}+5x-9=0 obtemos x^{2}-5x+9=0 cujo discriminante é
\Delta = 5^{2}-4\cdot 1\cdot 9 = 25-36 = -11 < 0,
portanto não há raízes reais: a função é sempre negativa (o coeficiente de x^{2} em f é -1). Logo f(x)<0 em todo [1,4] e a integral é negativa. Isso significa que o valor obtido é o negativo da área geométrica entre a curva e o eixo x naquele intervalo. A área absoluta entre a curva e o eixo x é \dfrac{21}{2}.

Resposta

-\dfrac{21}{2}
Interpretação: o valor negativo indica que a curva fica abaixo do eixo x em [1,4]; a área absoluta entre a curva e o eixo é \dfrac{21}{2}.

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