Determine primitivas para as funções indicadas:
f(x)=\frac{x^{3}+1}{7}

Passo 1

O enunciado pede para determinar primitivas (antiderivadas) da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+1}{7}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+1}{7}.
  • Quer-se encontrar todas as funções F tais que F'(x)=f(x). Lembre-se de que a primitiva é determinada até uma constante arbitrária C.

Passo 2

Regra útil: a integral (primitiva) é linear. Isso significa que, para constantes a,b e funções g,h,
\int \bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr)\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Também podemos fatorar constantes para fora da integral:
\int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.
Vou usar essas propriedades para simplificar a primitiva de f.

Passo 3

Escrevendo \displaystyle f(x) separando termos e tirando o fator constante:
\frac{x^{3}+1}{7}=\frac{1}{7}x^{3}+\frac{1}{7}.
Portanto
\int f(x)\,dx = \int\!\left(\frac{1}{7}x^{3}+\frac{1}{7}\right)\,dx = \frac{1}{7}\int x^{3}\,dx + \frac{1}{7}\int 1\,dx.

Passo 4

Regra do expoente (power rule) para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
Também sabemos que \displaystyle \int 1\,dx = x + C. Vou usar essas informações nas somas lineares.

Passo 5

Substituindo os resultados em \displaystyle \frac{1}{7}\int x^{3}\,dx + \frac{1}{7}\int 1\,dx:
\frac{1}{7}\cdot\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{7}\cdot x + C = \frac{x^{4}}{28} + \frac{x}{7} + C,
onde C é a constante de integração (pode absorver constantes vindas de cada integral).

Passo 6

Verificação rápida diferenciando para confirmar:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{28}+\frac{x}{7}+C\right) = \frac{4x^{3}}{28}+\frac{1}{7}+0 = \frac{x^{3}}{7}+\frac{1}{7} = \frac{x^{3}+1}{7},
que coincide com f(x). Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{28}+\frac{x}{7}+C

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