Calcule o divergente do campo vetorial dado.
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e pede o que está entre parênteses:
  • Campo vetorial fornecido: \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
  • Pergunta: calcular o divergente do campo vetorial acima (ou seja, o valor de \nabla\cdot\vec{F}).

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui:
  • \nabla é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas é \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right).
  • \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) significa que F_x é a componente na direção \vec{i}, F_y é a componente na direção \vec{j} e F_z é a componente na direção \vec{k}.
  • \dfrac{\partial F_x}{\partial x} é a derivada parcial de F_x em relação a x: significa derivar F_x tratando y e z como constantes. Analogamente para as outras derivadas parciais.
No nosso caso identificamos as componentes:
F_x(x,y,z)=x,\qquad F_y(x,y,z)=y,\qquad F_z(x,y,z)=z.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial F_x}{\partial x} passo a passo:
  • F_x(x,y,z)=x é uma função que depende apenas de x.
  • A derivada de x em relação a x é 1.
    Portanto
\frac{\partial F_x}{\partial x}=1.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial F_y}{\partial y} passo a passo:
  • F_y(x,y,z)=y depende apenas de y.
  • A derivada de y em relação a y é 1.
    Portanto
\frac{\partial F_y}{\partial y}=1.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial F_z}{\partial z} passo a passo:
  • F_z(x,y,z)=z depende apenas de z.
  • A derivada de z em relação a z é 1.
    Portanto
\frac{\partial F_z}{\partial z}=1.

Passo 6

Somar as derivadas parciais conforme a fórmula do divergente:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=1+1+1=3.
Interpretação rápida (didática): o divergente mede a taxa neta de “saída” por unidade de volume. Aqui o valor é constante igual a 3, ou seja, em qualquer ponto o campo se comporta como uma fonte homogênea com intensidade 3.

Passo 7

Dica prática para a prova: quando as componentes do campo são funções simples de cada coordenada (como x,y,z), basta derivar cada componente em relação à sua própria variável e somar. Exemplo extra rápido: para \vec{G}=(2x,3y,0) tem-se \nabla\cdot\vec{G}=2+3+0=5. Isso ajuda a resolver rápido sem erro.

Resposta

3

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