Calcule o divergente do campo vetorial dado.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e pede o que está entre parênteses:
- Campo vetorial fornecido:
. - Pergunta: calcular o divergente do campo vetorial acima (ou seja, o valor de
).
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
Aqui:
-
é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas é . -
significa que é a componente na direção , é a componente na direção e é a componente na direção . -
é a derivada parcial de em relação a : significa derivar tratando e como constantes. Analogamente para as outras derivadas parciais.
No nosso caso identificamos as componentes:
Passo 3
Calcular
passo a passo:
-
é uma função que depende apenas de . - A derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 4
Calcular
passo a passo:
-
depende apenas de . - A derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo:
-
depende apenas de . - A derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 6
Somar as derivadas parciais conforme a fórmula do divergente:
Interpretação rápida (didática): o divergente mede a taxa neta de “saída” por unidade de volume. Aqui o valor é constante igual a
, ou seja, em qualquer ponto o campo se comporta como uma fonte homogênea com intensidade
.
Passo 7
Dica prática para a prova: quando as componentes do campo são funções simples de cada coordenada (como
), basta derivar cada componente em relação à sua própria variável e somar. Exemplo extra rápido: para
tem-se
. Isso ajuda a resolver rápido sem erro.