Vou apresentar dois fatos úteis (com explicação curta) que irei usar:
Para todo número real y vale a desigualdade |\sin y|\le |y|. Aqui y é qualquer argumento do seno; no nosso caso y=12x. Essa desigualdade é clássica e pode ser vista a partir da série de Taylor de \sin y ou por argumentos geométricos; em qualquer caso ela garante que \sin(12x) é, em módulo, controlado por |12x| quando x é pequeno.
Para todo número real t vale |\cos t|\le 1. Ou seja, o cosseno é sempre limitado entre -1 e 1.
Também uso o Teorema do Aperto (squeeze theorem): se |f(x)|\le g(x) para x próximo de 0 e \lim_{x\to0} g(x)=0, então \lim_{x\to0} f(x)=0.
Passo 4
Aplico as desigualdades à expressão simplificada. Primeiro tomo o valor absoluto:
(Observação técnica: perto de x=0 o denominador x+1 é diferente de zero, portanto a expressão \frac{x^{3}}{x+1} é bem definida para x suficientemente próximo de 0.)
Passo 5
Calculo o limite do lado direito que domina em módulo:
Conclusão final e recado rápido: apesar de \cos\!\left(\frac{12}{x}\right) oscilar muito quando x\to0, a fatoração mostrou que a expressão tem um fator x^{3} que anula essas oscilações, fazendo o produto tender a zero. Boa! Isso é um padrão útil em limites: se uma parte oscila mas outra parte vai a zero rapidamente, muitas vezes o limite é zero.