\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{5} \operatorname{sen}(12 x) \cos \left(\frac{12}{x}\right)}{x^{3}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{5}\,\operatorname{sen}(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)}{x^{3}+x^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável é x e a situação é o limite quando x\to 0.
  • No numerador aparece x^{5}, \operatorname{sen}(12x) e \cos\!\left(\frac{12}{x}\right).
  • No denominador aparece x^{3}+x^{2}.
    O objetivo é calcular o limite numérico quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica para ver a forma dominante das potências de x. Fatoreio x^{2} do denominador:
\frac{x^{5}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)}{x^{3}+x^{2}} = \frac{x^{5}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)}{x^{2}(x+1)} = \frac{x^{3}}{x+1}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right).

Passo 3

Vou apresentar dois fatos úteis (com explicação curta) que irei usar:
  • Para todo número real y vale a desigualdade |\sin y|\le |y|. Aqui y é qualquer argumento do seno; no nosso caso y=12x. Essa desigualdade é clássica e pode ser vista a partir da série de Taylor de \sin y ou por argumentos geométricos; em qualquer caso ela garante que \sin(12x) é, em módulo, controlado por |12x| quando x é pequeno.
  • Para todo número real t vale |\cos t|\le 1. Ou seja, o cosseno é sempre limitado entre -1 e 1.
Também uso o Teorema do Aperto (squeeze theorem): se |f(x)|\le g(x) para x próximo de 0 e \lim_{x\to0} g(x)=0, então \lim_{x\to0} f(x)=0.

Passo 4

Aplico as desigualdades à expressão simplificada. Primeiro tomo o valor absoluto:
\left|\frac{x^{3}}{x+1}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)\right| = \left|\frac{x^{3}}{x+1}\right|\;|\sin(12x)|\; \left|\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)\right|.
Usando |\sin(12x)|\le 1 e \left|\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)\right|\le 1 obtemos a estimativa simples
\left|\frac{x^{3}}{x+1}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)\right| \le \left|\frac{x^{3}}{x+1}\right|.
(Observação técnica: perto de x=0 o denominador x+1 é diferente de zero, portanto a expressão \frac{x^{3}}{x+1} é bem definida para x suficientemente próximo de 0.)

Passo 5

Calculo o limite do lado direito que domina em módulo:
\lim_{x\to 0}\left|\frac{x^{3}}{x+1}\right| = \frac{\lim_{x\to0}|x^{3}|}{\lim_{x\to0}|x+1|} = \frac{0}{1}=0.
Como o módulo da nossa função está limitado por uma função que tende a 0, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{x+1}\,\sin(12x)\,\cos\!\left(\frac{12}{x}\right)=0.

Passo 6

Conclusão final e recado rápido: apesar de \cos\!\left(\frac{12}{x}\right) oscilar muito quando x\to0, a fatoração mostrou que a expressão tem um fator x^{3} que anula essas oscilações, fazendo o produto tender a zero. Boa! Isso é um padrão útil em limites: se uma parte oscila mas outra parte vai a zero rapidamente, muitas vezes o limite é zero.

Resposta

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