Seja f(x)=\operatorname{Cotg} x. Calcule:
a) f^{\prime}(x)
b) f^{\prime}\left(-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{Cotg} x e pede duas coisas:
  • (a) calcular f^{\prime}(x);
  • (b) calcular f^{\prime}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida onde \sin x \neq 0 (pois \operatorname{Cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}).

Passo 2

Para derivar é prático escrever a cotangente como quociente de funções trigonométricas elementares:
\operatorname{Cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Isso mostra que podemos usar a regra do quociente para derivar. Lembre-se de que esta expressão só vale quando \sin x\neq 0.

Passo 3

Apresentando a regra do quociente (fórmula e o que cada símbolo significa):
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis. Aqui:
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=\sin x.

Passo 4

Calcule as derivadas das partes:
u'(x)=(\cos x)'=-\sin x,\qquad v'(x)=(\sin x)'=\cos x.
Agora aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' =\frac{(-\sin x)\cdot\sin x-(\cos x)\cdot\cos x}{\sin^{2}x}.
Simplificando o numerador:
(-\sin x)\sin x-(\cos x)\cos x=-(\sin^{2}x+\cos^{2}x).
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
f'(x)=\frac{-1}{\sin^{2}x}.

Passo 5

Expressão em termos da cosecante (definição e significado das variáveis):
A função cosecante é definida por \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Logo
\frac{-1}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x.
Portanto a forma mais usada e fácil de memorizar é
f'(x)=-\csc^{2}x.

Passo 6

Agora avaliaremos f' em x=-\dfrac{\pi}{4}. Primeiro calcule \sin nesse ponto:
\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\sin^{2}\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Substituindo em f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}:
f'\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=-2.
(Alternativa curta: \csc\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}, logo -\csc^{2}\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\csc^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2.)

Passo 7

Dica de memorização amigável: sempre que vir \cot x, o derivado imediato é -\csc^{2}x. É tão simples quanto lembrar que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, e a de \cot x é a “versão negativa e com cosecante”.

Resposta

f'(x)=-\csc^{2}x
f'\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-2

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