Seja
. Calcule:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) calcular
; - (b) calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida onde
(pois ).
Passo 2
Para derivar é prático escrever a cotangente como quociente de funções trigonométricas elementares:
Isso mostra que podemos usar a regra do quociente para derivar. Lembre-se de que esta expressão só vale quando
.
Passo 3
Apresentando a regra do quociente (fórmula e o que cada símbolo significa):
onde
e
são funções diferenciáveis. Aqui:
Passo 4
Calcule as derivadas das partes:
Agora aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 5
Expressão em termos da cosecante (definição e significado das variáveis):
A função cosecante é definida por . Logo
A função cosecante é definida por
Portanto a forma mais usada e fácil de memorizar é
Passo 6
Agora avaliaremos
em
. Primeiro calcule
nesse ponto:
Então
Substituindo em
:
(Alternativa curta:
, logo
.)
Passo 7
Dica de memorização amigável: sempre que vir
, o derivado imediato é
. É tão simples quanto lembrar que a derivada de
é
, e a de
é a “versão negativa e com cosecante”.