Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende para
da função exponencial com base
. Ou seja, queremos avaliar
Informações dadas:
- A base é
, um número real positivo menor que . - A variável
tende para .
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade-chave das exponenciais que vamos usar: se a base
satisfaz
, então as potências
decrescem quando
cresce e intuitivamente tendem a zero. Vou transformar essa ideia numa demonstração simples e rigorosa usando logaritmo natural e a função exponencial.
Passo 3
Primeiro, expliquei o uso do logaritmo: para qualquer base positiva
(com
) pode-se escrever
onde
é o logaritmo natural e
é a função exponencial
. Aqui
é um número fixo (não depende de
).
Agora note o sinal de . A função
é crescente e
. Como
, segue que
Agora note o sinal de
Portanto
é um número negativo fixo. Chame esse número de
, ou seja
.
Passo 4
Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
Como
, quando
o produto
tende para
. Ou seja,
A função
é contínua e satisfaz
quando
. Assim
tende a
quando
, o que mostra o comportamento buscado.
Passo 5
Intuição e exemplo numérico rápido (para motivar): a base
é bem menor que
, então cada vez que multiplicamos por
o número cai bastante. Por exemplo
,
,
, e assim por diante — vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.