\lim _{x \rightarrow+\infty}(0,2026)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende para +\infty da função exponencial com base 0,2026. Ou seja, queremos avaliar
\lim_{x\to+\infty}\bigl(0,2026\bigr)^{x}.
Informações dadas:
  • A base é \,0,2026, um número real positivo menor que 1.
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade-chave das exponenciais que vamos usar: se a base a satisfaz 0<a<1, então as potências a^{x} decrescem quando x cresce e intuitivamente tendem a zero. Vou transformar essa ideia numa demonstração simples e rigorosa usando logaritmo natural e a função exponencial.

Passo 3

Primeiro, expliquei o uso do logaritmo: para qualquer base positiva a (com a\neq 1) pode-se escrever
a^{x}=\exp\bigl(x\ln a\bigr),
onde \ln é o logaritmo natural e \exp é a função exponencial t\mapsto e^{t}. Aqui \ln a é um número fixo (não depende de x).
Agora note o sinal de \ln(0,2026). A função \ln é crescente e \ln 1=0. Como \,0<0,2026<1, segue que
\ln(0,2026)<\ln(1)=0.
Portanto \ln(0,2026) é um número negativo fixo. Chame esse número de c, ou seja c=\ln(0,2026)<0.

Passo 4

Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
\bigl(0,2026\bigr)^{x}=\exp\bigl(x\cdot c\bigr).
Como c<0, quando x\to+\infty o produto x\cdot c tende para -\infty. Ou seja,
x\cdot c \longrightarrow -\infty \quad\text{quando}\quad x\to+\infty.
A função \exp é contínua e satisfaz \exp(t)\to 0 quando t\to -\infty. Assim \exp(xc) tende a 0 quando x\to+\infty, o que mostra o comportamento buscado.

Passo 5

Intuição e exemplo numérico rápido (para motivar): a base 0,2026 é bem menor que 1, então cada vez que multiplicamos por 0,2026 o número cai bastante. Por exemplo \bigl(0,2026\bigr)^{1}=0,2026, \bigl(0,2026\bigr)^{2}\approx 0,041, \bigl(0,2026\bigr)^{3}\approx 0,0083, e assim por diante — vai ficando cada vez menor, tendendo a zero.

Resposta

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