Calcule o Divergente dos campos vetoriais a seguir:
G(x, y, z)=\left(z^{2} y e^{x z}, z e^{x z}, x y z e^{x z}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial
G(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)
onde
P(x,y,z)=z^{2}y\,e^{xz},\quad Q(x,y,z)=z\,e^{xz},\quad R(x,y,z)=x\,y\,z\,e^{xz}.
O divergente é dado por
\operatorname{div}G=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z},
então vamos usar regras de derivação parcial, em especial a do produto e da exponencial.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} com
P=z^{2}y\,e^{xz}.
Como z^2y é constante em relação a x,
\frac{\partial P}{\partial x} =z^{2}y\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{xz}\bigr) =z^{2}y\,(z e^{xz}) =z^{3}y\,e^{xz}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y} com
Q=z\,e^{xz}.
Aqui não há dependência de y, logo
\frac{\partial Q}{\partial y}=0.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial R}{\partial z} com
R=x\,y\,z\,e^{xz}.
Trata-se de produto z\cdot e^{xz} (multiplicado por x\,y), então
\frac{\partial R}{\partial z} =x\,y\;\frac{d}{dz}\bigl(z\,e^{xz}\bigr) =x\,y\Bigl(e^{xz}+z\,(x\,e^{xz})\Bigr) =x\,y\,e^{xz}+x^{2}y\,z\,e^{xz}.

Passo 5

Somando as três derivadas parciais:
\operatorname{div}G =\underbrace{z^{3}y\,e^{xz}}_{\partial P/\partial x} +0 +\underbrace{\bigl(x\,y\,e^{xz}+x^{2}y\,z\,e^{xz}\bigr)}_{\partial R/\partial z} =y\,e^{xz}\bigl(z^{3}+x+x^{2}z\bigr).

Resposta

\operatorname{div}G(x,y,z) =y\,e^{xz}\bigl(z^{3}+x+x^{2}z\bigr).

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