Calcule o Divergente dos campos vetoriais a seguir:
U(x, y, z)=\left(2 x^{4}, e^{x y}, 2\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o divergente de \mathbf{U}(x,y,z)=(2x^{4},e^{xy},2).
O conteúdo é operador divergente, definido por
\nabla\cdot\mathbf{U} =\frac{\partial U_{1}}{\partial x} +\frac{\partial U_{2}}{\partial y} +\frac{\partial U_{3}}{\partial z}.

Passo 2

Calcular \frac{\partial U_{1}}{\partial x} com U_{1}(x,y,z)=2x^{4}.
A derivada de 2x^{4} em relação a x é
\frac{\partial U_{1}}{\partial x} =\frac{d}{dx}(2x^{4}) =8x^{3}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial U_{2}}{\partial y} com U_{2}(x,y,z)=e^{xy}.
Derivando em relação a y, tratamos x como constante, obtendo
\frac{\partial U_{2}}{\partial y} =x\,e^{xy}.

Passo 4

Calcular \frac{\partial U_{3}}{\partial z} com U_{3}(x,y,z)=2.
Como é constante,
\frac{\partial U_{3}}{\partial z}=0.

Passo 5

Somando as três derivadas, temos
\nabla\cdot\mathbf{U}(x,y,z) =8x^{3}+x\,e^{xy}+0 =8x^{3}+x\,e^{xy}.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{U}(x,y,z)=8x^{3}+x\,e^{xy}.

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