Resolva as EDO’s homogêneas:
y^{\prime}=-\frac{x+y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x}.
Este tipo de EDO pode ser vista como uma equação linear em y da forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
e vamos usar o fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x} = -1 - \frac{y}{x}.
Logo obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = -1.

Passo 3

Identificamos P(x)=\tfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx} + y = -x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = x\frac{dy}{dx} + y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)\,dx = \int (-x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x},
onde C é uma constante arbitrária.

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