Questão 16. Resolva as EDO’s:
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+y)\,dx + (x+2y)\,dy = 0.
Isso é uma 1-forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. O conteúdo é teoria de equações exatas: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, achar uma função potencial \varphi(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y) = x + y, \quad N(x,y) = x + 2y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) = x + y.
Integramos em x:
\varphi(x,y) = \int (x+y)\,dx = \frac{x^2}{2} + xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Usamos a outra condição exata
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y) = x + 2y.
Do nosso \varphi vem
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x + h'(y),
logo x + h'(y) = x + 2y, o que implica h'(y)=2y. Integrando em y,
h(y) = y^2.

Passo 5

A solução geral vem de
\varphi(x,y) = C,
ou seja
\frac{x^2}{2} + xy + y^2 = C.
Multiplicando tudo por 2 para simplificar a forma, obtemos
x^2 + 2xy + 2y^2 = C',
onde C' é uma constante arbitrária.

Resposta

x^2 + 2xy + 2y^2 = C

Exercícios relacionados