Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais a seguir:
(b) 
 
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial 
 . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do divergente e do rotacional nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede a taxa com que “fluides” estão saindo ou entrando em um ponto. Em coordenadas cilíndricas 
 , a fórmula do divergente é:
No nosso caso, o campo 
  tem componentes 
 , 
  (já que não há termo em 
 ), e 
 .
Passo 3
Vamos calcular cada termo do divergente:
Passo 4
Agora, somando esses termos, temos:
Passo 5
Vamos agora calcular o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial girar ao redor de um ponto. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do rotacional é:
No nosso caso, 
 , então simplifica um pouco.
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente 
:  
- Componente 
:  
- Componente 
:  
Passo 7
Juntando as componentes, o rotacional fica:
Resposta
O divergente do campo 
  é 
  e o rotacional é 
 .