Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
V=x^2 i+3 x z^2 j-2 x z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente de uma função vetorial. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo sobre divergentes e fluxo. Para resolver, vamos precisar entender o que é o divergente e como calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial V = Vx i + Vy j + Vz k é dado por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes da função vetorial em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
V = x^2 i + 3x z^2 j - 2x z k
Aqui, temos:
  • Vx = x^2
  • Vy = 3x z^2
  • Vz = -2x z

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de Vx em relação a x:
partial Vxpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x

Passo 5

Segundo, a derivada parcial de Vy em relação a y:
partial Vypartial y = partialpartial y (3x z^2)
Observamos que Vy não depende de y, então a derivada é zero:
partial Vypartial y = 0

Passo 6

Terceiro, a derivada parcial de Vz em relação a z:
partial Vzpartial z = partialpartial z (-2x z) = -2x

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais para achar o divergente:
nabla cdot V = 2x + 0 + (-2x) = 0

Resposta

O divergente da função vetorial V é igual a zero.

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