Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente de uma função vetorial. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo sobre divergentes e fluxo. Para resolver, vamos precisar entender o que é o divergente e como calcular suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial
é dado por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes da função vetorial em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
Aqui, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Segundo, a derivada parcial de
em relação a
:
Observamos que
não depende de
, então a derivada é zero:
Passo 6
Terceiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais para achar o divergente:
Resposta
O divergente da função vetorial
é igual a zero.