Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
r >= 0, pi <= theta <= 5 pi / 2

Passo 1

Nesse exercício, a missão é desenhar a região definida em coordenadas polares por r>=0 e pi<=theta<=5pi/2. O assunto é representação de regiões no plano usando coordenadas polares, e vamos precisar entender como o ângulo theta “varre” o plano e usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas, x=rcostheta e y=rsintheta.

Passo 2

Calculemos o comprimento do intervalo em theta:
5pi/2 - pi = 3pi/2,
que equivale a 270^circ. Note que 2pi (360°) é uma volta completa, então o ângulo começa em pi (180° no eixo negativo x), gira no sentido anti-horário passando pelos quadrantes III e IV, depois pelo I, e termina em 5pi/2, que é o mesmo que 90^circ (eixo positivo y).

Passo 3

Portanto, geometrically falado, a região corresponde ao setor angular de abertura 3pi/2, cujos limites são a semirreta theta=pi (eixo x negativo) e a semirreta theta=5pi/2 (eixo y positivo), abrangendo os quadrantes III, IV e I. Em outras palavras, é todo o plano exceto os pontos cuja coordenada angular esteja entre pi/2 e pi (o segundo quadrante).

Resposta

A região é o setor de abertura 3pi/2 que vai do eixo negativo x ( theta=pi) até o eixo positivo y ( theta=5pi/2), incluindo ambas as semirretas. Em termos práticos, é todo o plano cartesiano exceto o interior do segundo quadrante.

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