Calcule o divergente tridimensional
para cada um dos seguintes vetores:
, onde
é o vetor posição usual e
é uma constante
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o divergente tridimensional, representado por
, para o vetor
. O divergente é uma operação do cálculo vetorial que nos ajuda a saber se há uma “concentração” ou “divergência” em um ponto específico do campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais aplicadas aos componentes do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o vetor
de maneira mais clara:
Aqui,
é uma constante, e os componentes do vetor
são funções das coordenadas
,
e
.
Passo 3
O divergente de um vetor
é calculado pela seguinte expressão:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, para
:
Como
não depende de
, a derivada é zero:
Passo 5
Segundo, para
:
Aqui, derivando em relação a
, obtemos:
Passo 6
Terceiro, para
:
Como
não depende de
, a derivada é zero:
Passo 7
Agora, somamos as derivadas parciais encontradas:
Resposta
O divergente tridimensional de
é
.