Calcule o divergente tridimensional nabla cdot v para cada um dos seguintes vetores:
v=k(z, y, x), onde r=(x, y, z) é o vetor posição usual e k é uma constante

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o divergente tridimensional, representado por nabla cdot v, para o vetor v=k(z, y, x). O divergente é uma operação do cálculo vetorial que nos ajuda a saber se há uma “concentração” ou “divergência” em um ponto específico do campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais aplicadas aos componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o vetor v de maneira mais clara:
v = k(z, y, x) = (kz, ky, kx)
Aqui, k é uma constante, e os componentes do vetor v são funções das coordenadas x, y e z.

Passo 3

O divergente de um vetor v = (vx, vy, vz) é calculado pela seguinte expressão:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, para vx = kz:
partial vxpartial x = partial (kz)partial x
Como z não depende de x, a derivada é zero:
partial vxpartial x = 0

Passo 5

Segundo, para vy = ky:
partial vypartial y = partial (ky)partial y
Aqui, derivando em relação a y, obtemos:
partial vypartial y = k

Passo 6

Terceiro, para vz = kx:
partial vzpartial z = partial (kx)partial z
Como x não depende de z, a derivada é zero:
partial vzpartial z = 0

Passo 7

Agora, somamos as derivadas parciais encontradas:
nabla cdot v = 0 + k + 0 = k

Resposta

O divergente tridimensional de v=k(z, y, x) é nabla cdot v = k.

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