Uma conta de massa m está presa a um fio, sem atrito, que está curvado em forma de espiral com coordenadas polares ( rho, phi, z ), satisfazendo z=c phi e rho=R, com c e R constantes. O eixo z aponta verticalmente para cima e a gravidade verticalmente para baixo. Usando phi como a coordenada generalizada, obtenha a energia cinética e a potencial e, em seguida, a Hamiltoniana como uma função de phi e o seu momento conjugado p. Obtenha as equações de Hamilton, resolva para ddotphi e, em seguida, para z̈. Explique seu resultado em termos da mecânica Newtoniana e discuta o caso especial em que R=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa $ m $ presa a um fio sem atrito, que está curvado em forma de espiral nas coordenadas polares $ (\rho, \phi, z) $. As relações dadas são $ z = c \phi $ e $ \rho = R $, onde $ c $ e $ R $ são constantes. O eixo $ z $ é vertical para cima e a gravidade age para baixo. Nosso objetivo é usar $ \phi $ como coordenada generalizada para encontrar a energia cinética, potencial e a Hamiltoniana, além de resolver as equações de Hamilton para $ \ddot{\phi} $ e $ \ddot{z} $. Vamos precisar de conceitos de mecânica clássica, especificamente Lagrangiano e Hamiltoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as coordenadas $ \rho $, $ \phi $ e $ z $ em termos de $ \phi $. Já que $ \rho = R $ e $ z = c \phi $, temos:
rho
phi
Isso simplifica nossa análise, pois $ R $ e $ c $ são constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as velocidades em cada direção para calcular a energia cinética. As velocidades são as derivadas das coordenadas em relação ao tempo:
dotrho = 0 (já que rho = R é constante) áé
dotphi = dphidt
dotz = c dotphi

Passo 4

A energia cinética $ T $ em coordenadas polares é dada por:
T
Substituindo $ \rho = R $ e $ \dot{z} = c \dot{\phi} $:
T = 12 m (dotrho^2 + rho^2 dotphi^2 + dotz^2)

Passo 5

A energia potencial $ V $ vem da gravidade. Como $ z = c \phi $ e a gravidade aponta para baixo, temos:
V

Passo 6

O Lagrangiano $ L $ é a diferença entre a energia cinética e a potencial:
L

Passo 7

Para encontrar a Hamiltoniana, precisamos calcular o momento conjugado $ p $ associado a $ \phi $:
p
Agora, expressamos $ \dot{\phi} $ em termos de $ p $:
phi

Passo 8

A Hamiltoniana $ H $ é dada por:
H
Substituindo $ \dot{\phi} $ e $ L $:
H = p dotphi - L
Simplificando:
dotphi

Passo 9

Agora, vamos escrever as equações de Hamilton. Elas são:
dotphi = partial Hpartial p = pm (R^2 + c^2)
dotp = -partial Hpartial phi = -m g c

Passo 10

Vamos derivar $ \dot{p} $ em relação ao tempo para encontrar $ \ddot{\phi} $. Primeiro, sabemos que:
dotp
Integrando em relação ao tempo:
ddotphi
Substituindo na expressão de $ \dot{\phi} $:
dotp = -m g c
Derivando novamente para obter $ \ddot{\phi} $:
p = -m g c t + constante

Passo 11

Agora, vamos relacionar $ \ddot{z} $ com $ \ddot{\phi} $. Sabemos que $ z = c \phi $, então:
ddotz

Resposta

Encontramos que a aceleração angular é $ \ddot{\phi} = \frac{-g c}{R^2 + c^2} $ e a aceleração vertical é $ \ddot{z} = \frac{-g c2}{R2 + c^2} $. Isso significa que a massa sofre uma aceleração constante em $ \phi $ e deslocamento vertical devido à gravidade. No caso especial em que $ R = 0 $, a aceleração angular se torna $ \ddot{\phi} = \frac{-g c}{c^2} = \frac{-g}{c} $ e $ \ddot{z} = \frac{-g c2}{c2} = -g $, que corresponde à aceleração livre da gravidade, como esperado na mecânica Newtoniana clássica quando não há componente radial.

Exercícios relacionados