Uma conta de massa
está presa a um fio, sem atrito, que está curvado em forma de espiral com coordenadas polares (
), satisfazendo
e
, com
e R constantes. O eixo
aponta verticalmente para cima e a gravidade verticalmente para baixo. Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a energia cinética e a potencial e, em seguida, a Hamiltoniana como uma função de
e o seu momento conjugado
. Obtenha as equações de Hamilton, resolva para
e, em seguida, para z̈. Explique seu resultado em termos da mecânica Newtoniana e discuta o caso especial em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa $ m $ presa a um fio sem atrito, que está curvado em forma de espiral nas coordenadas polares $ (\rho, \phi, z) $. As relações dadas são $ z = c \phi $ e $ \rho = R $, onde $ c $ e $ R $ são constantes. O eixo $ z $ é vertical para cima e a gravidade age para baixo. Nosso objetivo é usar $ \phi $ como coordenada generalizada para encontrar a energia cinética, potencial e a Hamiltoniana, além de resolver as equações de Hamilton para $ \ddot{\phi} $ e $ \ddot{z} $. Vamos precisar de conceitos de mecânica clássica, especificamente Lagrangiano e Hamiltoniano.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as coordenadas $ \rho $, $ \phi $ e $ z $ em termos de $ \phi $. Já que $ \rho = R $ e $ z = c \phi $, temos:
Isso simplifica nossa análise, pois $ R $ e $ c $ são constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as velocidades em cada direção para calcular a energia cinética. As velocidades são as derivadas das coordenadas em relação ao tempo:
Passo 4
A energia cinética $ T $ em coordenadas polares é dada por:
Substituindo $ \rho = R $ e $ \dot{z} = c \dot{\phi} $:
Passo 5
A energia potencial $ V $ vem da gravidade. Como $ z = c \phi $ e a gravidade aponta para baixo, temos:
Passo 6
O Lagrangiano $ L $ é a diferença entre a energia cinética e a potencial:
Passo 7
Para encontrar a Hamiltoniana, precisamos calcular o momento conjugado $ p $ associado a $ \phi $:
Agora, expressamos $ \dot{\phi} $ em termos de $ p $:
Passo 8
A Hamiltoniana $ H $ é dada por:
Substituindo $ \dot{\phi} $ e $ L $:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos escrever as equações de Hamilton. Elas são:
Passo 10
Vamos derivar $ \dot{p} $ em relação ao tempo para encontrar $ \ddot{\phi} $. Primeiro, sabemos que:
Integrando em relação ao tempo:
Substituindo na expressão de $ \dot{\phi} $:
Derivando novamente para obter $ \ddot{\phi} $:
Passo 11
Agora, vamos relacionar $ \ddot{z} $ com $ \ddot{\phi} $. Sabemos que $ z = c \phi $, então:
Resposta
Encontramos que a aceleração angular é $ \ddot{\phi} = \frac{-g c}{R^2 + c^2} $ e a aceleração vertical é $ \ddot{z} = \frac{-g c2}{R2 + c^2} $. Isso significa que a massa sofre uma aceleração constante em $ \phi $ e deslocamento vertical devido à gravidade. No caso especial em que $ R = 0 $, a aceleração angular se torna $ \ddot{\phi} = \frac{-g c}{c^2} = \frac{-g}{c} $ e $ \ddot{z} = \frac{-g c2}{c2} = -g $, que corresponde à aceleração livre da gravidade, como esperado na mecânica Newtoniana clássica quando não há componente radial.