Um gás ideal à temperatura de 20^circ C é contraído adiabaticamente até metade de seu volume original. Encontre a temperatura final do gás considerando (a) que o gás é monoatômico ( Cv=3 R / 2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás ideal que está a 20^circ C e vai ser comprimido adiabaticamente até a metade do volume original. Nosso objetivo aqui é descobrir qual vai ser a temperatura final desse gás, considerando que ele é monoatômico, ou seja, tem Cv = 3R2. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e as relações de capacidade térmica dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. Nesse tipo de processo, a energia interna do gás muda apenas devido ao trabalho realizado na compressão ou expansão.

Passo 3

Para gases ideais em uma transformação adiabática, a relação entre a temperatura e o volume é dada por:
T V^gamma - 1 = constante
onde gamma é a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante ( Cp) e a volume constante ( Cv), ou seja:
gamma = CpCv

Passo 4

Como o gás é monoatômico, temos que Cv = 3R2. Sabemos que:
Cp = Cv + R
Portanto:
Cp = 3R2 + R = 5R2
Assim, a razão gamma fica:
gamma = 5R23R2 = 53

Passo 5

Agora, vamos aplicar a relação da transformação adiabática. Sabemos que:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Queremos encontrar T2, a temperatura final. Sabendo que o volume final V2 é a metade do volume inicial V1, temos:
V2 = V12

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver T2:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1
Substituindo V2 = V12:
V1V2 = 2
Portanto:
T2 = T1 times 2^gamma - 1

Passo 7

Substituindo gamma = 53 na equação:
T2 = T1 times 2^53 - 1 = T1 times 2^23

Passo 8

Antes de calcular, precisamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque as equações da termodinâmica usam Kelvin. Lembrando que:
T(K) = T(^circ C) + 273,15
Então:
T1 = 20 + 273,15 = 293,15 , K

Passo 9

Agora, calculando 2^23:
2^23 approx 1,5874
Então:
T2 = 293,15 times 1,5874 approx 465,7 , K

Resposta

A temperatura final do gás é aproximadamente 465,7 , K, que corresponde a 192,55^circ C.

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