Um gás ideal à temperatura de
é contraído adiabaticamente até metade de seu volume original. Encontre a temperatura final do gás considerando (a) que o gás é monoatômico (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás ideal que está a
e vai ser comprimido adiabaticamente até a metade do volume original. Nosso objetivo aqui é descobrir qual vai ser a temperatura final desse gás, considerando que ele é monoatômico, ou seja, tem
. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e as relações de capacidade térmica dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. Nesse tipo de processo, a energia interna do gás muda apenas devido ao trabalho realizado na compressão ou expansão.
Passo 3
Para gases ideais em uma transformação adiabática, a relação entre a temperatura e o volume é dada por:
onde
é a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
), ou seja:
Passo 4
Como o gás é monoatômico, temos que
. Sabemos que:
Portanto:
Assim, a razão
fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a relação da transformação adiabática. Sabemos que:
Queremos encontrar
, a temperatura final. Sabendo que o volume final
é a metade do volume inicial
, temos:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 7
Substituindo
na equação:
Passo 8
Antes de calcular, precisamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque as equações da termodinâmica usam Kelvin. Lembrando que:
Então:
Passo 9
Agora, calculando
:
Então:
Resposta
A temperatura final do gás é aproximadamente
, que corresponde a
.