O vagão de uma montanha-russa, com massa
, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano
(
horizontal e
verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por
.
Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana
(como uma função de
e
).
Usando
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um vagão de montanha-russa com massa $ m $ que se move ao longo de trilhos definidos pela altura $ y = h(x)
\mathcal{L}
p
\mathcal{H} $) em termos de $ x $ e $ p $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, como energia cinética, energia potencial, derivadas parciais e mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do sistema. Como o movimento ocorre no plano $ xy $ e a altura $ y $ é uma função de $ x $, podemos usar $ x $ como a coordenada generalizada. Assim, a posição do vagão é dada por $ (x, h(x)) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética ($ T $). A energia cinética depende da velocidade do vagão. Como $ y = h(x) $, a velocidade na direção $ y $ é $ \dot{y} = \frac{dh}{dx} \dot{x} = h’(x) \dot{x} $. Então, a energia cinética total é:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a energia potencial ($ V $). A energia potencial gravitacional é dada por:
Passo 5
Com as energias cinética e potencial em mãos, podemos escrever a Lagrangiana ($ \mathcal{L} $) como a diferença entre $ T $ e $ V $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento generalizado ($ p
\dot{x} $):
Passo 7
Para encontrar a Hamiltoniana ($ \mathcal{H} $), usamos a relação:
Primeiro, precisamos expressar $ \dot{x} $ em termos de $ p $:
Passo 8
Substituindo $ \dot{x} $ na expressão da Hamiltoniana:
Simplificando os termos:
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é dada por: