O vagão de uma montanha-russa, com massa m, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano x y ( x horizontal e y verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por y= h(x).
Usando x como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana H=p dotx-L (como uma função de x e p ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vagão de montanha-russa com massa $ m $ que se move ao longo de trilhos definidos pela altura $ y = h(x) m é \mathcal{L} y = h(x) p L \mathcal{H} $) em termos de $ x $ e $ p $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, como energia cinética, energia potencial, derivadas parciais e mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do sistema. Como o movimento ocorre no plano $ xy $ e a altura $ y $ é uma função de $ x $, podemos usar $ x $ como a coordenada generalizada. Assim, a posição do vagão é dada por $ (x, h(x)) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética ($ T $). A energia cinética depende da velocidade do vagão. Como $ y = h(x) $, a velocidade na direção $ y $ é $ \dot{y} = \frac{dh}{dx} \dot{x} = h’(x) \dot{x} $. Então, a energia cinética total é:
T

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a energia potencial ($ V $). A energia potencial gravitacional é dada por:
V

Passo 5

Com as energias cinética e potencial em mãos, podemos escrever a Lagrangiana ($ \mathcal{L} $) como a diferença entre $ T $ e $ V $:
L

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento generalizado ($ p p éçãà \dot{x} $):
dotx

Passo 7

Para encontrar a Hamiltoniana ($ \mathcal{H} $), usamos a relação:
H
Primeiro, precisamos expressar $ \dot{x} $ em termos de $ p $:
H = p dotx - L

Passo 8

Substituindo $ \dot{x} $ na expressão da Hamiltoniana:
dotx
Simplificando os termos:
H = p ( pm (1 + ( h'(x) )^2 ) ) - [ 12 m (1 + ( h'(x) )^2 ) ( pm (1 + ( h'(x) )^2 ) )^2 - m g h(x) ]
H = p^2m (1 + ( h'(x) )^2 ) - ( p^22 m (1 + ( h'(x) )^2 ) - m g h(x) )

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é dada por:
H = p^22 m (1 + ( h'(x) )^2 ) + m g h(x)

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