Mesmo enunciado.
2
\begin{aligned} & f(x, y)=2 x^{2}+3 y \\\ & R=\{(x, y) ; 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 2\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{2}+3y
e o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1\\ \text{e}\\\ 0\le y\le 2\}.
O que vamos calcular (pressuposição sensata, porque é o pedido mais comum para esse tipo de enunciado) é a integral dupla de f sobre R, ou seja
\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA significa o elemento de área no plano (x,y). Também anoto que a região R é um retângulo com largura em x igual a 1 e altura em y igual a 2.

Passo 2

Plano de resolução e justificativa teórica curta (passo-a-passo do que vou usar).
  • A função f(x,y)=2x^{2}+3y é um polinômio em x e y, portanto é contínua em todo o plano. Pelo Teorema de Fubini, em um retângulo a integral dupla existe e pode ser calculada como integral iterada em qualquer ordem. Ou seja:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando a ordem
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy.
Vou escolher integrar primeiro em y (é simples aqui), depois em x. Observação importante: ao integrar em y, trate x como constante; ao integrar em x, trate y como constante.

Passo 3

Escrever a integral iterada escolhida:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} \bigl(2x^{2}+3y\bigr)\,dy\right)dx.
Agora calculo a integral interna \displaystyle \int_{y=0}^{2} \bigl(2x^{2}+3y\bigr)\,dy. Lembre que x é constante nessa integração.
  • Integral de 2x^{2} em y: como 2x^{2} não depende de y, tem antiderivada em y igual a 2x^{2}\cdot y.
  • Integral de 3y em y: antiderivada é 3\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}y^{2}.
Portanto a antiderivada da soma é
2x^{2}\,y+\frac{3}{2}y^{2}.
Avalio entre y=0 e y=2:
\left[2x^{2}\,y+\frac{3}{2}y^{2}\right]_{0}^{2} = 2x^{2}\cdot 2 + \frac{3}{2}\cdot 2^{2} - 0 = 4x^{2} + \frac{3}{2}\cdot 4 = 4x^{2} + 6.

Passo 4

Substituo o resultado da integral interna na integral externa. Agora precisamos calcular
\int_{x=0}^{1} \bigl(4x^{2}+6\bigr)\,dx.
Calculo a antiderivada em x:
  • Antiderivada de 4x^{2} é 4\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{4}{3}x^{3}.
  • Antiderivada de 6 é 6x.
Então a antiderivada total é
\frac{4}{3}x^{3}+6x.
Avalio entre x=0 e x=1:
\left[\frac{4}{3}x^{3}+6x\right]_{0}^{1} = \left(\frac{4}{3}\cdot 1^{3} + 6\cdot 1\right) - 0 = \frac{4}{3} + 6.

Passo 5

Faço a soma em forma de fração com denominador comum 3:
\frac{4}{3} + 6 = \frac{4}{3} + \frac{18}{3} = \frac{22}{3}.
Esse é o valor da integral dupla \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA.
Comentário didático rápido: esse número \dfrac{22}{3} pode ser interpretado, por exemplo, como a massa total de uma lâmina com densidade superficial f(x,y) sobre a região R. Se quiser o valor médio de f em R, divide-se por a área de R, que é 1\cdot 2= 2; assim o valor médio seria \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{22}{3}=\dfrac{11}{3}. Só um extra para fixar o conceito.

Resposta

\dfrac{22}{3}

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