Mesmo enunciado.
2
2
Passo 1
O enunciado dá a função
e o retângulo
O que vamos calcular (pressuposição sensata, porque é o pedido mais comum para esse tipo de enunciado) é a integral dupla de
sobre
, ou seja
Aqui
significa o elemento de área no plano
. Também anoto que a região
é um retângulo com largura em
igual a
e altura em
igual a
.
Passo 2
Plano de resolução e justificativa teórica curta (passo-a-passo do que vou usar).
- A função
é um polinômio em e , portanto é contínua em todo o plano. Pelo Teorema de Fubini, em um retângulo a integral dupla existe e pode ser calculada como integral iterada em qualquer ordem. Ou seja:
ou trocando a ordem
Vou escolher integrar primeiro em
(é simples aqui), depois em
. Observação importante: ao integrar em
, trate
como constante; ao integrar em
, trate
como constante.
Passo 3
Escrever a integral iterada escolhida:
Agora calculo a integral interna
. Lembre que
é constante nessa integração.
- Integral de
em : como não depende de , tem antiderivada em igual a . - Integral de
em : antiderivada é .
Portanto a antiderivada da soma é
Avalio entre
e
:
Passo 4
Substituo o resultado da integral interna na integral externa. Agora precisamos calcular
Calculo a antiderivada em
:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Então a antiderivada total é
Avalio entre
e
:
Passo 5
Faço a soma em forma de fração com denominador comum
:
Esse é o valor da integral dupla
.
Comentário didático rápido: esse número
pode ser interpretado, por exemplo, como a massa total de uma lâmina com densidade superficial
sobre a região
. Se quiser o valor médio de
em
, divide-se por a área de
, que é
; assim o valor médio seria
. Só um extra para fixar o conceito.