Calcule o domínio da função f(x)=\sqrt[4]{3-|x+1|}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o domínio da função f(x)=\sqrt[4]{3-|x+1|}.\n
Informações dadas: a função é uma raiz de índice 4 (quarta raiz) aplicada ao radicando 3-|x+1|. Não há outras informações ou figuras.

Passo 2

Entendendo a restrição principal (aula rapidinha e prática). Para uma raiz de índice par (como a quarta raiz), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que o valor seja um número real. Isso acontece porque não existe raiz par real de número negativo. Portanto, a condição necessária e suficiente para x pertencer ao domínio é:
3-|x+1|\ge 0.

Passo 3

Vamos transformar a desigualdade acima de forma clara. Primeiro isolamos o valor absoluto:
3-|x+1|\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|\le 3.
Explicando o passo: somando |x+1| aos dois lados e subtraindo 0 dá a equivalência acima.

Passo 4

Resolver |x+1|\le 3 usando a definição de valor absoluto. Por definição, para u\in\mathbb{R} e a\ge 0,
|u|\le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a\le u\le a.
Aplicando com u=x+1 e a=3 obtemos:
-3\le x+1\le 3.

Passo 5

Isolamos x na fita acima: subtraindo 1 em todos os termos,
-3-1 \le x \le 3-1 \quad\Longleftrightarrow\quad -4\le x\le 2.
Isso nos dá o intervalo de valores de x que tornam o radicando não negativo.

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança): se x=-4 então 3-|x+1|=3-|-3|=3-3=0 e \sqrt[4]{0}=0 é permitido; se x=2 então 3-|2+1|=3-|3|=0 também permitido; se x=3 então 3-|3+1|=3-4=-1 que é negativo e não dá número real para a quarta raiz — logo x=3 não está no domínio.

Passo 7

Conclusão e dica prática: Sempre que tiver uma raiz de índice par, imponha o radicando \ge 0. Para lidar com valores absolutos use a equivalência |u|\le a \Leftrightarrow -a\le u\le a. Aqui isso levou diretamente ao intervalo final.

Resposta

[-4,2]

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