Seja f uma função que satisfaz a seguinte desigualdade:
|f(x)-7| \leq 5(x-2), \forall x \in \mathbb{R} .
Utilize a definição de limite para calcular o valor de \lim _{x \rightarrow 2} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
|f(x)-7| \leq 5(x-2),\quad \forall x\in\mathbb{R},
e pede para calcular
\lim_{x\to 2} f(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{(i)}\quad |f(x)-7|\\ \text{está limitado por}\\\ 5(x-2)\\ \text{para todo}\\ x\in\mathbb{R}.á
\text{(ii)}\quad \text{o ponto de interesse é}\\ x=2,\\ \text{ou seja, queremos saber o valor de}\\ f(x)\\ \text{quando}\\ x\to 2.é

Passo 2

Observação sobre a desigualdade fornecida: para x<2 temos 5(x-2)<0, enquanto o lado esquerdo |f(x)-7| é sempre \ge 0. Portanto, como está escrita a desigualdade não poderia ser verdadeira para valores x<2 (pois não existe número não negativo menor ou igual a um número negativo). Assim, é natural entender que o enunciado pretendia escrever a desigualdade com o valor absoluto em (x-2), isto é,
|f(x)-7| \le 5|x-2|,\quad \forall x\in\mathbb{R}.
Vou prosseguir com essa interpretação, que é a única que permite uma desigualdade válida para todo x.

Passo 3

Vou usar a definição \emph{epsilon-delta} de limite. A definição diz:
\text{Dizemos que }\lim_{x\to 2} f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-2|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno dado (a precisão desejada no valor de f(x));
  • \delta>0 é a tolerância na variável x (queremos garantir que quando x está dentro de \delta de 2, então f(x) está dentro de \varepsilon de L);
  • L é o valor candidato do limite que vamos verificar.

Passo 4

Com a desigualdade interpretada como
|f(x)-7| \le 5|x-2|,
temos já uma relação direta entre |f(x)-7| e |x-2|. Isso sugere que o candidato natural para o limite é L=7, porque quando x\to 2 a quantidade |x-2|\to 0 e a desigualdade força |f(x)-7| a ir para 0. Agora vamos provar isso rigorosamente usando a definição de limite.

Passo 5

Prova epsilon-delta. Seja um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então |f(x)-7|<\varepsilon.
A desigualdade nos dá, para todo x,
|f(x)-7| \le 5|x-2|.
Se escolhermos
\delta=\frac{\varepsilon}{5},
então, sempre que 0<|x-2|<\delta, temos
|f(x)-7| \le 5|x-2| < 5\delta = 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita com esse \delta.

Passo 6

Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to 2} f(x)=7.
(Explicando em palavras: a desigualdade controlou a diferença |f(x)-7| por uma constante vezes |x-2|. Escolhendo \delta=\varepsilon/5 garantimos que sempre que x estiver suficientemente próximo de 2, a diferença |f(x)-7| ficará menor que qualquer \varepsilon pedido.)

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se quiser precisão \varepsilon=0,01 em f(x), escolha \delta=0,01/5=0,002. Então qualquer x com 0<|x-2|<0,002 satisfará |f(x)-7|<0,01.

Resposta

\;7

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