Seja
uma função que satisfaz a seguinte desigualdade:
Utilize a definição de limite para calcular o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para calcular
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Observação sobre a desigualdade fornecida: para
temos
, enquanto o lado esquerdo
é sempre
. Portanto, como está escrita a desigualdade não poderia ser verdadeira para valores
(pois não existe número não negativo menor ou igual a um número negativo). Assim, é natural entender que o enunciado pretendia escrever a desigualdade com o valor absoluto em
, isto é,
Vou prosseguir com essa interpretação, que é a única que permite uma desigualdade válida para todo
.
Passo 3
Vou usar a definição \emph{epsilon-delta} de limite. A definição diz:
Explicando as variáveis:
-
é um número pequeno dado (a precisão desejada no valor de ); -
é a tolerância na variável (queremos garantir que quando está dentro de de , então está dentro de de ); -
é o valor candidato do limite que vamos verificar.
Passo 4
Com a desigualdade interpretada como
temos já uma relação direta entre
e
. Isso sugere que o candidato natural para o limite é
, porque quando
a quantidade
e a desigualdade força
a ir para
. Agora vamos provar isso rigorosamente usando a definição de limite.
Passo 5
Prova epsilon-delta. Seja um
arbitrário. Queremos encontrar
tal que, se
, então
.
A desigualdade nos dá, para todo
,
Se escolhermos
então, sempre que
, temos
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita com esse
.
Passo 6
Concluímos, pela definição
-
, que
(Explicando em palavras: a desigualdade controlou a diferença
por uma constante vezes
. Escolhendo
garantimos que sempre que
estiver suficientemente próximo de
, a diferença
ficará menor que qualquer
pedido.)
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se quiser precisão
em
, escolha
. Então qualquer
com
satisfará
.