(1 ponto)
(0.5) Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
(0.5) Encontre a equação da reta tangente à curva
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
no ponto
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A função da curva é
.\n - O ponto onde queremos a tangente é
.\n
Pergunta: determinar a equação da reta tangente a essa curva nesse ponto.
Passo 2
Conceito importante (aula rapidinha): a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva no ponto de abscissa
é a derivada da função naquele ponto, ou seja,
. A definição formal da derivada é
que é a inclinação do “segmento secante” quando
vira 0. Na prática, em polinômios usamos regras de derivação (mais rápidas) para achar
e depois avaliamos em
.
Passo 3
Regra que vamos usar: a regra do poder (power rule). Ela diz que, para
real,
Também valem: a derivada de
é
(quando
é constante) e a derivada de uma constante é
. Aplicando essas regras à nossa função
, obtemos a derivada
Agora calcule cada termo:
Portanto
Passo 4
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação
da tangente:
Logo, a reta tangente tem coeficiente angular
.
Passo 5
Fórmula da reta com inclinação
passando por
(forma ponto-inclinação):
Aqui
,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Checagem rápida (sanity check): a reta
passa por
porque
. A inclinação é
, que coincide com
. Tudo certo!