(1 ponto)
(0.5) Encontre a equação da reta tangente à curva y=x^{2}-3 x+2 no ponto (2,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=x^{2}-3x+2 no ponto (2,0).\n
Informações dadas:\n
  • A função da curva é y=x^{2}-3x+2.\n
  • O ponto onde queremos a tangente é (2,0).\n
    Pergunta: determinar a equação da reta tangente a essa curva nesse ponto.

Passo 2

Conceito importante (aula rapidinha): a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva no ponto de abscissa x=a é a derivada da função naquele ponto, ou seja, f'(a). A definição formal da derivada é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
que é a inclinação do “segmento secante” quando h vira 0. Na prática, em polinômios usamos regras de derivação (mais rápidas) para achar f'(x) e depois avaliamos em x=a.

Passo 3

Regra que vamos usar: a regra do poder (power rule). Ela diz que, para n real,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Também valem: a derivada de c x é c (quando c é constante) e a derivada de uma constante é 0. Aplicando essas regras à nossa função y=x^{2}-3x+2, obtemos a derivada
y'= \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}\big(3x\big)+\frac{d}{dx}\big(2\big).
Agora calcule cada termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad \frac{d}{dx}\big(3x\big)=3,\qquad \frac{d}{dx}\big(2\big)=0.
Portanto
y'=2x-3.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=2 para obter a inclinação m da tangente:
m=y'(2)=2\cdot 2-3=4-3=1.
Logo, a reta tangente tem coeficiente angular m=1.

Passo 5

Fórmula da reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}) (forma ponto-inclinação):
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui x_{0}=2, y_{0}=0 e m=1. Substituindo:
y-0=1\cdot (x-2).
Simplificando:
y=x-2.

Passo 6

Checagem rápida (sanity check): a reta y=x-2 passa por (2,0) porque 0=2-2. A inclinação é 1, que coincide com y'(2). Tudo certo!

Resposta

y=x-2

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