Calcule o domínio das funções:
(e) f(x)=\log (|x+4|-1)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o domínio da função f(x)=\log\!\bigl(|x+4|-1\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma função logarítmica cuja expressão dentro do log é |x+4|-1.
  • Preciso determinar para quais valores reais de x essa expressão faz sentido (ou seja, onde a função está definida).

Passo 2

Entender a condição básica para o logaritmo: a função logarítmica \log(t) (no contexto real) está definida somente quando o argumento t é estritamente positivo. Ou seja, a condição necessária e suficiente é
t>0.
No caso da nossa função, o argumento do log é t=|x+4|-1. Portanto a condição de existência da função é
|x+4|-1>0.

Passo 3

Transformar a condição em uma desigualdade mais simples. A desigualdade
|x+4|-1>0
é equivalente a
|x+4|>1.
Agora vou resolver a desigualdade |x+4|>1. Vou explicar como resolver desigualdades com valor absoluto de forma didática.

Passo 4

Lembrete sobre valor absoluto: para qualquer expressão u\) e número positivo \(a>0\), \[|u|>a \quad\Longleftrightarrow\quad u>a \quad\text{ou}\quad u<-a.
Isto vem da definição peça a peça do valor absoluto:
|u|=\begin{cases} u, & u\ge 0,\\[4pt] -u, & u<0. \end{cases}
Aplicando isso com u=x+4\] e \(a=1, obtemos as duas condições:
x+4>1 \quad\text{ou}\quad x+4<-1.]

Passo 5

Resolver cada uma das duas desigualdades obtidas:
  • Se x+4>1, subtraindo 4 dos dois lados dá
x>-3.
  • Se x+4<-1, subtraindo 4 dos dois lados dá
x<-5.
Portanto a solução da desigualdade |x+4|>1 é a união das duas soluções:
x<-5 \quad\text{ou}\quad x>-3.

Passo 6

Verificar os pontos limite x=-5 e x=-3. Para x=-5 temos
|{-5}+4|-1 = |{-1}|-1 = 1-1=0,
e para x=-3 temos
|{-3}+4|-1 = |1|-1 = 1-1=0.
Como o logaritmo não está definido em 0, os pontos x=-5 e x=-3 devem ser excluídos do domínio (ou seja, desigualdades estritas valem corretamente).

Passo 7

Escrever o domínio em notação de intervalos. A solução x<-5 corresponde ao intervalo (-\infty,-5). A solução x>-3 corresponde ao intervalo (-3,\infty). Unindo-os, o domínio da função é
(-\infty,-5)\cup(-3,\infty).

Resposta

(-\infty,-5)\cup(-3,\infty)

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