Encontre o wronskiano do par de funções dado.
3. e^{2 t}, t e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o wronskiano do par de funções dadas. As funções são:
y_1(t)=e^{2t},\qquad y_2(t)=t\,e^{2t}.
Vou identificar claramente o que é pedido: calcular o wronskiano W(y_1,y_2)(t), que é uma função de t.

Passo 2

O que é o wronskiano? Para duas funções y_1(t) e y_2(t) diferenciáveis, o wronskiano é definido por
W(y_1,y_2)(t)=\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\[6pt] y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix} = y_1(t)\,y_2'(t)-y_2(t)\,y_1'(t).
Explicando: esse determinante mede (de forma prática) se as duas funções são linearmente independentes — se o wronskiano for diferente de zero para algum t, as funções são linearmente independentes naquele ponto.]

Passo 3

Preciso das derivadas de y_1 e y_2. Calculemos com calma:
y_1(t)=e^{2t}\quad\Rightarrow\quad y_1'(t)=2e^{2t},
usando a regra da cadeia (a derivada de e^{2t} é 2e^{2t} porque derivada de 2t é 2).
Agora y_2:
y_2(t)=t\,e^{2t}.
Aqui usamos a regra do produto: se u(t)=t e v(t)=e^{2t}, então (uv)'=u'v+uv'. Assim
y_2'(t)=1\cdot e^{2t}+t\cdot 2e^{2t}=e^{2t}+2t\,e^{2t}=e^{2t}(1+2t).

Passo 4

Agora monto o determinante do wronskiano com os valores calculados:
W(y_1,y_2)(t)=\begin{vmatrix} e^{2t} & t\,e^{2t}\\[6pt] 2e^{2t} & e^{2t}(1+2t) \end{vmatrix}.]

Passo 5

Calculo o determinante passo a passo. Usando a fórmula do determinante ad-bc:
W(y_1,y_2)(t)=e^{2t}\cdot e^{2t}(1+2t)-t\,e^{2t}\cdot 2e^{2t}.
Agora fatoro e^{2t}\cdot e^{2t}=e^{4t} comum nos dois termos:
W(y_1,y_2)(t)=e^{4t}\bigl(1+2t-2t\bigr).
Dentro do parênteses 1+2t-2t=1. Portanto
W(y_1,y_2)(t)=e^{4t}\cdot 1 = e^{4t}.

Passo 6

Interpretação e observação útil para a prova: \,e^{4t} é sempre positivo (nunca zero) para todo t\in\mathbb{R}. Isso significa que o wronskiano não se anula em nenhum ponto, logo as funções e^{2t} e t e^{2t} são linearmente independentes. Dica rápida: quando as funções têm um fator exponencial comum e^{2t}, muitas vezes é conveniente fatorar esse expoente antes de calcular o determinante — isso simplifica as contas, como fizemos.

Resposta

W(y_1,y_2)(t)=e^{4t}

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