Use as propriedades de continuidade para determinar o conjunto de pontos em que cada uma das seguintes funções é contínua. Justifique suas respostas.
A função k definida por
k(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[k(x, y)= \begin{cases}\dfrac{x^{2} y^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text{se }(x, y) \neq(0,0),\\[6pt] 0 & \text{se }(x, y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede: determinar o conjunto de pontos de \mathbb{R}^2\] em que \(k é contínua e justificar.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A expressão \dfrac{x^{2} y^{4}}{x^{2}+y^{2}} vale para todos os pontos diferentes de (0,0).
  • O valor no ponto (0,0) foi definido separadamente como 0.]

Passo 2

Primeiro analiso os pontos (x,y)\neq(0,0).
Fatos úteis (teoria usada): polinômios em x,y são funções contínuas; produtos e somas de funções contínuas são contínuos; se f e g são contínuas num ponto e g não é zero nesse ponto, então f/g é contínua nesse ponto.
Aplicando isso: x\mapsto x^{2}, y\mapsto y^{4} e (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} são polinômios, portanto contínuos em \mathbb{R}^2. Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0, então a razão
(x,y)\mapsto \frac{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua em todo (x,y)\neq(0,0). Conclusão parcial: k é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Agora preciso verificar a continuidade em (0,0). Para isso, lembro a definição: k é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} k(x,y)=k(0,0)=0.
Portanto devo calcular (ou estimar) o limite de \dfrac{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{2}} quando (x,y)\to(0,0) e verificar se é 0.

Passo 4

Uma maneira muito conveniente é usar coordenadas polares. Escrevo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0. Substituindo:
x^{2}y^{4} = r^{6}\cos^{2}\theta\sin^{4}\theta \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{6}\cos^{2}\theta\sin^{4}\theta}{r^{2}} = r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{4}\theta.
Agora tomo módulo e uso que |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1. Assim
\left|\frac{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| = r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{4}\theta \le r^{4}.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^{4}\to0. Pelo princípio do confronto (ou por desigualdade direta), o valor absoluto da função tende a 0, logo a própria função tende a 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 5

Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} k(x,y)=0 e k(0,0)=0 pela definição dada, concluí que k é contínua em (0,0).
Juntando as conclusões dos passos anteriores: k é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) por ser quociente de polinômios com denominador não nulo, e também é contínua em (0,0) porque o limite naquele ponto existe e é igual a 0. Logo k é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 6

Resumo rápido de estratégia que funciona em muitos exercícios do tipo: provar continuidade fora de pontos onde o denominador pode anular-se usando propriedades de quociente de polinômios; para o ponto problemático, procurar uma mudança de variável conveniente (polares) ou uma desigualdade que mostre que a função vai a zero mais rápido que a distância ao ponto vai a zero. Seguindo esse roteiro deu certo aqui. Força aí — tá dominável!

Resposta

A função k é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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